вправа 9.118 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 9.118
Умова:
Основою похилої призми є квадрат. Добуток ребер одного з тригранних кутів удвічі більший за об'єм призми. Знайдіть кут нахилу бічного ребра до площини основи.
Відповідь ГДЗ:
Нехай АВСDА1В1С1D1 - похила призма,
АВСD - квадрат,
АВ • ВС • ВВ1 = 2V, де V - об'єм призми.
Знайдемо ∠ВСС1.
Проведемо АК ┴ DD1, ВМ ┴ СС1, тоді
АВМК - переріз, який є ортогональною проекцією АВСD.
SАВМК = SАВСDcos∠МВС, тоді \begin{equation} cos\angle MBC=\frac{S_{ABMK}}{S_{ABCD}} \end{equation} Нехай АВ = а, ВВ1 = l, тоді за умовою
АВ • ВС • ВВ1 = 2V
SАВСD = а2, а2 • l = 2V
Об'єм похилої призми
V = SАВМК • l, отже
а2l = 2 • SАВМКl, звідки \begin{equation} \frac{S_{ABMK}}{a^{2}}=\frac{1}{2}, \end{equation} тобто, \begin{equation} \frac{S_{ABMK}}{S_{ABCD}}=\frac{1}{2}. \end{equation} Тоді маємо \begin{equation} cos\angle MBC=\frac{1}{2}, \end{equation} звідки ∠МВС = 60°.
Із ΔМВС (∠ВМС = 90°)
∠ВСМ = 90° - 60° = 30° -
кут нахилу бічного ребра до площини основи.
Відповідь: 30°
Нехай АВСDА1В1С1D1 - похила призма,
АВСD - квадрат,
АВ • ВС • ВВ1 = 2V, де V - об'єм призми.
Знайдемо ∠ВСС1.
Проведемо АК ┴ DD1, ВМ ┴ СС1, тоді
АВМК - переріз, який є ортогональною проекцією АВСD.
SАВМК = SАВСDcos∠МВС, тоді \begin{equation} cos\angle MBC=\frac{S_{ABMK}}{S_{ABCD}} \end{equation} Нехай АВ = а, ВВ1 = l, тоді за умовою
АВ • ВС • ВВ1 = 2V
SАВСD = а2, а2 • l = 2V
Об'єм похилої призми
V = SАВМК • l, отже
а2l = 2 • SАВМКl, звідки \begin{equation} \frac{S_{ABMK}}{a^{2}}=\frac{1}{2}, \end{equation} тобто, \begin{equation} \frac{S_{ABMK}}{S_{ABCD}}=\frac{1}{2}. \end{equation} Тоді маємо \begin{equation} cos\angle MBC=\frac{1}{2}, \end{equation} звідки ∠МВС = 60°.
Із ΔМВС (∠ВМС = 90°)
∠ВСМ = 90° - 60° = 30° -
кут нахилу бічного ребра до площини основи.
Відповідь: 30°