вправа 9.120 гдз 11 клас геометрія Істер 2019

Відповідь ГДЗ:



Нехай АВСDА₁В₁С₁D₁ - паралелепіпед,
грані якого ромби з діагоналями 6 дм і 8 дм.
Знайдемо V - об'єм паралелепіпеда.
Нехай ВD = 6 дм, АС = 8 дм
V = SАВСD • h, де h - висота паралелепіпеда
SАВСD - площа АВСD \begin{equation} S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 6=24. \end{equation} Проведемо С₁К ┴ (АВС), тоді
С₁К = h - висота паралелепіпеда.
Проведемо С₁М - висота бічної грані.
АВD - ромб, тоді АС ┴ ВD,
ΔАОD (∠АОD = 90°)
АО = 4 дм, ОD = 3 дм, \begin{equation} AD=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5. \end{equation} Так, як всі грані паралелепіпеда
ромби з однаковими сторонами,
то всі ребра паралелепіпеда по 5 дм.
Знайдемо висоту ромба СС₁D₁D,
так як SАВСD = SСС₁D₁D = 24 дм² і
SСС₁D₁D = СD • С₁М, тобто 5 • С₁М = 24, то
С₁М = 24 : 5 = 4,8 (дм)
Із ΔСМС1 (∠СМС₁ = 90°)
СМ² = СС₁² - С₁М²
СМ² = 5² - 4,8² = 1,96 \begin{equation} CM=\sqrt{1,96}=1,4 \end{equation} Із ΔСОD (∠СОD = 90°) \begin{equation} cos\angle OCD=\frac{CO}{CD}=> \end{equation} \begin{equation} cos\angle OCD=\frac{4}{5}. \end{equation} Із ΔСМК (∠СМК = 90°) \begin{equation} CK=\frac{CM}{cos\angle KCM} \end{equation} ∠КСМ = ∠ОСМ, тоді \begin{equation} CK=\frac{1,4}{cos\angle OCM}; \end{equation} \begin{equation} CK=\frac{1,4}{\frac{4}{5}}=1,75 \end{equation} Із ΔС₁КС (∠С₁КС = 90°) \begin{equation} C_{1}K=\sqrt{C_{1}^{2}-CK^{2}} \end{equation} \begin{equation} C_{1}K=\sqrt{5^{2}-1,75^{2}}=\frac{3}{4}\sqrt{39} \end{equation} Отже, \begin{equation} V=S_{ABCD}\cdot h=S_{ABCD}\cdot C_{1}K= \end{equation} \begin{equation} =24\cdot \frac{3}{4}\sqrt{39}=18\sqrt{39}(dm^{3})- \end{equation} об'єм паралелепіпеда.

Відповідь: \begin{equation} 18\sqrt{39}dm^{3} \end{equation}