вправа 9.122 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 9.122
Умова:
Кожне ребро паралелепіпеда дорівнює а. Плоскі кути одного з тригранних кутів дорівнюють 45°, 60° і 90°. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.
Відповідь ГДЗ:
Нехай АВСDА1В1С1D1 - паралелепіпед,
всі ребра якого а.
С1О - висота паралелепіпеда,
С1К - висота грані DD1С1С,
С1М - висота грані ВВ1С1С,
∠ВСD = 90°, ∠С1СD = 45°, ∠ВСС1 = 60°.
Знайдемо V - об'єм паралелепіпеда.
V = SАВСD • С1О
АВСD - квадрат, тому SАВСD = а2
Із ΔС1КС (∠С1КС = 90°, ∠С1СК = 45°) \begin{equation} CK=CC_{1}\cdot cos45^{\circ}=\frac{a}{\sqrt{2}} \end{equation} Із ΔСМС1 (∠СМС1 = 90°)
СМ = С1С • cosМСС1 \begin{equation} CM=a\cdot cos60^{\circ}=\frac{a}{{2}} \end{equation} СКОМ - прямокутник,
ОС - діагональ прямокутника, тому \begin{equation} OC=\sqrt{CK^{2}+OK^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{CK^{2}+CM^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{(\frac{a}{\sqrt{2}})^{2}+(\frac{a}{2})^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{\frac{a}{{2}}^{2}+\frac{a}{2}^{2}}=\frac{\sqrt{3}a}{2} \end{equation} Із ΔС1ОС (∠С1ОС = 90°) \begin{equation} C_{1}O=\sqrt{CC_{1}^{2}-OC^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{a^{2}-(\frac{\sqrt{3}a}{2})^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{a^{2}-\frac{{3}a}{4}^{2}}=\frac{a}{2}. \end{equation} Отже, \begin{equation} V=S_{ABCD}\cdot C_{1}O= \end{equation} \begin{equation} =a^{2}\cdot \frac{a}{2}=\frac{a^{3}}{2}. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} \frac{a^{3}}{2} \end{equation}
Нехай АВСDА1В1С1D1 - паралелепіпед,
всі ребра якого а.
С1О - висота паралелепіпеда,
С1К - висота грані DD1С1С,
С1М - висота грані ВВ1С1С,
∠ВСD = 90°, ∠С1СD = 45°, ∠ВСС1 = 60°.
Знайдемо V - об'єм паралелепіпеда.
V = SАВСD • С1О
АВСD - квадрат, тому SАВСD = а2
Із ΔС1КС (∠С1КС = 90°, ∠С1СК = 45°) \begin{equation} CK=CC_{1}\cdot cos45^{\circ}=\frac{a}{\sqrt{2}} \end{equation} Із ΔСМС1 (∠СМС1 = 90°)
СМ = С1С • cosМСС1 \begin{equation} CM=a\cdot cos60^{\circ}=\frac{a}{{2}} \end{equation} СКОМ - прямокутник,
ОС - діагональ прямокутника, тому \begin{equation} OC=\sqrt{CK^{2}+OK^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{CK^{2}+CM^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{(\frac{a}{\sqrt{2}})^{2}+(\frac{a}{2})^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{\frac{a}{{2}}^{2}+\frac{a}{2}^{2}}=\frac{\sqrt{3}a}{2} \end{equation} Із ΔС1ОС (∠С1ОС = 90°) \begin{equation} C_{1}O=\sqrt{CC_{1}^{2}-OC^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{a^{2}-(\frac{\sqrt{3}a}{2})^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{a^{2}-\frac{{3}a}{4}^{2}}=\frac{a}{2}. \end{equation} Отже, \begin{equation} V=S_{ABCD}\cdot C_{1}O= \end{equation} \begin{equation} =a^{2}\cdot \frac{a}{2}=\frac{a^{3}}{2}. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} \frac{a^{3}}{2} \end{equation}