вправа 9.89 гдз 11 клас геометрія Істер 2019

Відповідь ГДЗ:



Нехай ABCDA₁B₁C₁D₁ - паралелепіпед,
АВ = 17 см, АD = 25 см, d₁ = 26 см,
∠ВВ₁D = 45°.
Знайдемо V - об'єм АВСDА₁В₁С₁D₁.
АВСD - паралелограм, тому
2(АВ² + АD²) = АС² + ВD²
2 • (17² + 25²) = 26² + d²
d² = 1152, тоді
d = 24√2.
Отже, ВD = 26 см, АС = 24√2 см
∠ВВ₁D - прямокутний, рівнобедрений,
тому ВВ₁ = BD = 26 см.
Знайдемо площу S_АВСD паралелограма.
S_АВСD = АВ • АD • sin∠ВАD.
Із ΔАВD знайдемо sin∠ВАD, скориставшись
спочатку теоремою косинусів,
а потім тотожністю cos²α + sin²α = 1. \begin{equation} cosBAD=\frac{AB^{2}+AD^{2}-BD^{2}}{2\cdot AB\cdot AD} \end{equation} \begin{equation} cosBAD=\frac{17^{2}+25^{2}-26^{2}}{2\cdot 17\cdot 25} \end{equation} звідки, \begin{equation} cosBAD=\frac{7}{25} \end{equation} Тоді: \begin{equation} sinBAD=\sqrt{1-cos^{2}BAD}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{1-(\frac{7}{25}^{2})}=\frac{24}{25} \end{equation} V = S_ABCD • ВВ₁
V = 408 • 26 = 10608 (см³).
Відповідь: 10608 см³