вправа 9.95 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 9.95
Умова:
У сферу радіуса 4 см вписано правильну трикутну призму, сторона основи якої також дорівнює 4 см. Знайдіть об'єм цієї призми.
Відповідь ГДЗ:
Нехай АВСА1В1С1 - правильна призма,
вписана в сферу R = 4 см радіус сфери, АВ = 4 см.
Знайдемо V - об'єм призми.
V = SАВС • h, де SАВС - площа ΔАВС (основи призми),
h - висота призми.
Нехай т. О - центр сфери, тоді
ОВ = R = 4 см - радіус сфери,
т. О1 - центр кола, вписаного навколо ΔАВС.
Тоді h = 2 • ОО1.
О1В - радіус описаного кола
навколо правильного ΔАВС, тоді
\begin{equation}
O_{1}B= \frac{AB}{\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}(CM)
\end{equation}
Із ΔОО1В (∠ООВ = 90°) \begin{equation} OO_{1}=\sqrt{OB^{2}-O_{1}B^{2}} \end{equation} \begin{equation} OO_{1}=\sqrt{4^{2}-\frac{4}{\sqrt{3}^{2}}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{16-\frac{16}{3}}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}(CM) \end{equation} \begin{equation} S_{\triangle ABC}=\frac{AB^{2}\sqrt{3}}{4} \end{equation} \begin{equation} S_{\triangle ABC}=\frac{16\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}(CM^{2}) \end{equation} \begin{equation} h=4\sqrt{3}\cdot 2=8\sqrt{3}(CM)- \end{equation} \begin{equation} V=8\sqrt{3}\cdot \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=32\sqrt{2}(CM^{3})- \end{equation} об'єм призми.
Відповідь: 32√2 см3
Нехай АВСА1В1С1 - правильна призма,
вписана в сферу R = 4 см радіус сфери, АВ = 4 см.
Знайдемо V - об'єм призми.
V = SАВС • h, де SАВС - площа ΔАВС (основи призми),
h - висота призми.
Нехай т. О - центр сфери, тоді
ОВ = R = 4 см - радіус сфери,
т. О1 - центр кола, вписаного навколо ΔАВС.
Тоді h = 2 • ОО1.
О1В - радіус описаного кола
навколо правильного ΔАВС, тоді
\begin{equation}
O_{1}B= \frac{AB}{\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}(CM)
\end{equation}
Із ΔОО1В (∠ООВ = 90°) \begin{equation} OO_{1}=\sqrt{OB^{2}-O_{1}B^{2}} \end{equation} \begin{equation} OO_{1}=\sqrt{4^{2}-\frac{4}{\sqrt{3}^{2}}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{16-\frac{16}{3}}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}(CM) \end{equation} \begin{equation} S_{\triangle ABC}=\frac{AB^{2}\sqrt{3}}{4} \end{equation} \begin{equation} S_{\triangle ABC}=\frac{16\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}(CM^{2}) \end{equation} \begin{equation} h=4\sqrt{3}\cdot 2=8\sqrt{3}(CM)- \end{equation} \begin{equation} V=8\sqrt{3}\cdot \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=32\sqrt{2}(CM^{3})- \end{equation} об'єм призми.
Відповідь: 32√2 см3