вправа 11.10 гдз 11 клас математика Мерзляк Номіровський 2019
Вправа 11.10
Умова:
Умова:
Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями:
Відповідь ГДЗ:
\begin{equation} 1)y=x^{2};y=4 \end{equation} Знайдемо межі інтегрування - абсциси
точок перетину графіків даних функцій. \begin{equation} x^{2}=4,x= \pm 2. \end{equation} Площа фігури дорівнює різниці
площ квадрата,
утворенного віссю Ох, прямою у = 4 і прямих х = -2 і х = 2,
і площею криволінійної трапеції,
утвореної графіком функції \begin{equation} y=x^{2} \end{equation} віссю Ох і прямими х = -2 і х = 2 \begin{equation} S=4^{2}-\int_{-2}^{2}x^{2}dx= \end{equation} \begin{equation} =16-\frac{x^{3}}{3} \mid^{2}_{-2}= \end{equation} \begin{equation} =16-(\frac{2^{3}}{3}+\frac{2^{3}}{3})= \end{equation} \begin{equation} =16-(\frac{8}{3}+\frac{8}{3})= \end{equation} \begin{equation} =16-\frac{16}{3}=10\frac{2}{3}. \end{equation} \begin{equation} 2)y=2x^{2}; y=2x. \end{equation} \begin{equation} 2x^{2}=2x; \end{equation} \begin{equation} 2x^{2}-2x=0; \end{equation} \begin{equation} 2x(x-1)=0; \end{equation} х = 1 і х = 0 - межі інтегрування \begin{equation} S=\int_{0}^{1}2xdx-\int_{0}^{1}2x^{2}dx= \end{equation} \begin{equation} =(\frac{2x^{2}}{2}-\frac{2x^{3}}{3}) \mid^{1}_{0} = \end{equation} \begin{equation} =\frac{2}{2}-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}; \end{equation} \begin{equation} 3)y=e^{x};y=1;x=2. \end{equation} \begin{equation} S=\int_{0}^{1}e^{x}dx-1*2= \end{equation} \begin{equation} =e^{x} \mid^{2}_{0}-2= \end{equation} \begin{equation} =e^{2}-e^{0}-2=e^{2}-3; \end{equation} \begin{equation} 4)y=\frac{4}{x};y=4;x=4. \end{equation} \begin{equation} \frac{4}{x}=1; \end{equation} \begin{equation} x=4 \end{equation} - точка перетину графіків,
верхня межа інтегрування. \begin{equation} S=\int_{1}^{4}\frac{4}{x}dx-1*3= \end{equation} \begin{equation} =4 \ln \left | x \right | \mid^{4}_{1}-3= \end{equation} \begin{equation} =4 \ln 4-4 \ln 1 -3 = \end{equation} \begin{equation} =\ln 256-3; \end{equation} \begin{equation} 5)y=\frac{4}{x}; y=4; і x=4. \end{equation} \begin{equation} \frac{4}{x}=4; \end{equation} \begin{equation} x=1 \end{equation} - нижня межа інтегрування. \begin{equation} S=3*4-\int_{1}^{4}\frac{4}{x}dx= \end{equation} \begin{equation} =12-(4 \ln \left | x \right | \mid^{4}_{1} )= \end{equation} \begin{equation} =12-(\ln 16-4 \ln 1)= \end{equation} \begin{equation} =12-\ln 16; \end{equation} \begin{equation} 6)y=x^{2}-4x+5;y=5. \end{equation} Координати вершини параболи \begin{equation} x_{0}=-\frac{-4}{2}=2; \end{equation} \begin{equation} y_{0}=2^{2}-4*2+5=1. \end{equation} Вітки параболи напрямлені вгору.
Точки перетину з прямою у = 5: \begin{equation} x^{2}-4x+5=5; \end{equation} \begin{equation} x^{2}-4x=0; \end{equation} \begin{equation} x(x-4)=0; \end{equation} х = 0 і х = 4 - межі інтегрування. \begin{equation} S=\int_{0}^{4}5dx-\int_{0}^{4}(x^{2}- \end{equation} \begin{equation} -4x+5)dx= \end{equation} \begin{equation} =\int_{0}^{4}(x^{2}+4x)dx= \end{equation} \begin{equation} =(\frac{4x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}) \mid^{4}_{0} = \end{equation} \begin{equation} =\frac{4*4^{2}}{2} -\frac{4^{3}}{3}= \end{equation} \begin{equation} =32-\frac{64}{3}= \end{equation} \begin{equation} =32-21\frac{1}{3}=10\frac{2}{3}. \end{equation} \begin{equation} 7)y=2+x=x^{2};y=2-x. \end{equation} Координати вершини параболи: \begin{equation} x_{0}=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}; \end{equation} \begin{equation} y+{0}=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+2=2\frac{1}{4} \end{equation} Вітки параболи напрямлені вниз.
Точки перетину з віссю Ох: \begin{equation} 2+x-x^{2}=0; \end{equation} \begin{equation} x^{2}-x-2=0; \end{equation} \begin{equation} x=2 і x=-1. \end{equation} Абсциси точок перетину
графіків функцій (межі інтегрування): \begin{equation} 2+x-x^{2}=2-x; \end{equation} \begin{equation} x^{2}-2x=0; \end{equation} \begin{equation} x(x-2)=0; \end{equation} \begin{equation} x=0 і x=2 \end{equation} \begin{equation} S=\int_{0}^{2}(2+x- \end{equation} \begin{equation} -x^{2})dx-\int_{0}^{3}(2-x)dx= \end{equation} \begin{equation} =\int_{0}^{2}(2+x-x^{2}-2+x)dx= \end{equation} \begin{equation} =\int_{0}^{2}(2x-x^{2})dx= \end{equation} \begin{equation} =(\frac{2x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}) \mid^{2}_{0}= \end{equation} \begin{equation} =(x^{2}-\frac{x^{3}}{3}) \mid^{2}_{0} = \end{equation} \begin{equation} =2^{2}-\frac{2^{3}}{3}=4-2\frac{2}{3}= \end{equation} \begin{equation} =1\frac{1}{3}; \end{equation} \begin{equation} 8)y=x^{2}+2; y=x+4. \end{equation} \begin{equation} x^{2}+2=x+4; \end{equation} \begin{equation} x^{2}-x-2=0; \end{equation} х = 2 і х = -1 - межі інтегрування. \begin{equation} S=\int_{-1}^{2}(x+4)dx- \end{equation} \begin{equation} -\int_{-1}^{2}(x^{2}+2)dx= \end{equation} \begin{equation} =\int_{-1}^{2}(x+4-x^{2}-2)dx= \end{equation} \begin{equation} =\int_{-1}^{2}(2+x-x^{2})dx= \end{equation} \begin{equation} =(2x+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}) \mid^{2}_{-1} = \end{equation} \begin{equation} =2*2+\frac{2^{3}}{3}-(-2+ \end{equation} \begin{equation} +\frac{(-1)^{2}}{2}-\frac{(-1)^{3}}{3})= \end{equation} \begin{equation} =4+2-\frac{8}{3}+2-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}= \end{equation} \begin{equation} =7\frac{1}{2}-\frac{9}{3}=4\frac{1}{2}; \end{equation} \begin{equation} 9)y=x^{2}+2x+1; y=x+3. \end{equation} \begin{equation} x^{2}+2x+1=x+3; \end{equation} \begin{equation} x^{2}+x-2=0; \end{equation} \begin{equation} x=-2 і x=1 \end{equation} - межі інтегрування. \begin{equation} S=\int_{-2}^{1}(x+3)dx- \end{equation} \begin{equation} -\int_{-2}^{1}(x^{2}+2x+1)dx= \end{equation} \begin{equation} =\int_{-2}^{1}(x+3-x^{2}-2x-1)dx= \end{equation} \begin{equation} =\int_{-2}^{1}(2-x-x^{2})dx= \end{equation} \begin{equation} =(2x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}) \mid^{1}_{-2}= \end{equation} \begin{equation} =2-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-(-2* \end{equation} \begin{equation} *2-\frac{(-2)^{2}}{2}-\frac{(-2)^{3}}{3})= \end{equation} \begin{equation} =2-\frac{5}{6}+4+2-\frac{8}{3}= \end{equation} \begin{equation} =8-\frac{21}{6}=8-3,5=4,5; \end{equation} \begin{equation} 10)y=-x^{2}+2x;y=x^{2}. \end{equation} \begin{equation} -x^{2}+2x=x^{2}; \end{equation} \begin{equation} 2x^{3}-2x=0; \end{equation} \begin{equation} 2x(x-1)=0; \end{equation} х = 0 і х = 1 - межі інтегрування. \begin{equation} S=\int_{0}^{1}(-x^{2}+2x)dx- \end{equation} \begin{equation} -\int_{0}^{1}x^{2}dx= \end{equation} \begin{equation} =\int_{0}^{1}(-x^{2}+2x-x^{2})dx= \end{equation} \begin{equation} =\int_{0}^{1}(-2x^{2}+2x)dx= \end{equation} \begin{equation} =(-2*\frac{x^{3}}{3}+2*\frac{x^{2}}{2}) \mid^{1}_{0}= \end{equation} \begin{equation} =(-\frac{2x^{3}}{3}+x^{2}) \mid^{1}_{0}= \end{equation} \begin{equation} -\frac{2}{3}+1=\frac{1}{3}. \end{equation} \begin{equation} 11)y=x^{3};y=x^{2}. \end{equation} \begin{equation} x^{3}=x^{2}; \end{equation} \begin{equation} x^{3}-x^{2}=0; \end{equation} \begin{equation} x^{2}(x-1)=0; \end{equation} х = 0 і х = 1 - межі інтегрування. \begin{equation} S=\int_{0}^{1}x^{2}dx-\int_{0}^{1}x^{3}dx- \end{equation} \begin{equation} -\int_{0}^{1}(x^{2}-x^{3})dx= \end{equation} \begin{equation} =(\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}) \mid^{1}_{0}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}; \end{equation} \begin{equation} 12)y=e^{x};y=e;x=0. \end{equation} \begin{equation} e^{x}=e; \end{equation} х = 1 - верхня межа інтегрування. \begin{equation} S=\int_{0}^{1}edx-\int_{0}^{1}e^{x}dx= \end{equation} \begin{equation} =\int_{0}^{1}(e-e^{x})dx= \end{equation} \begin{equation} =(ex-e^{x}) \mid^{1}_{0} = \end{equation} \begin{equation} =e-e+e^{0}=e^{0}=1. \end{equation} \begin{equation} 13)y=\frac{7}{x};x+y=8(y=8-x). \end{equation} \begin{equation} \frac{7}{x}=8-x; \end{equation} \begin{equation} \frac{7}{x}-8+x=0; \end{equation} \begin{equation} 7-8x+x^{2}=0; \end{equation} х = 7 і х = 1 - межі інтегрування. \begin{equation} S=\int_{1}^{7}(8-x)dx-\int_{1}^{7}dx= \end{equation} \begin{equation} =\int_{1}^{7}(8-x-\frac{7}{x})dx= \end{equation} \begin{equation} =(8x-\frac{x^{2}}{2}-7 \ln \left | x \right | ) \mid^{7}_{1}= \end{equation} \begin{equation} =8*7-\frac{7^{2}}{2}- \end{equation} \begin{equation} -7 \ln 7-8+\frac{1}{2}+7 \ln 1 = \end{equation} \begin{equation} = 56-\frac{49}{2}-7 \ln 7-8+\frac{1}{2}= \end{equation} \begin{equation} =48-24-7 \ln 7= \end{equation} \begin{equation} =24 -7 \ln 7; \end{equation} \begin{equation} 14)y= \sin x; \end{equation} \begin{equation} y= \cos x; x=0; \end{equation} \begin{equation} x=\frac{\pi }{4}. \end{equation} \begin{equation} S=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}} \cos xdx-\int_{0}^{\frac{\pi }{4}} \sin xdx= \end{equation} \begin{equation} =\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}(\cos x - \sin x)dx= \end{equation} \begin{equation} =(\sin x+ \cos x) \mid^{\frac{\pi }{4}}_{0}= \end{equation} \begin{equation} =\sin\frac{\pi }{4}+\cos\frac{\pi }{4}-\sin 0-\cos 0= \end{equation} \begin{equation} =\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}-0-1= \end{equation} \begin{equation} \sqrt{2}-1. \end{equation}
\begin{equation} 1)y=x^{2};y=4 \end{equation} Знайдемо межі інтегрування - абсциси
точок перетину графіків даних функцій. \begin{equation} x^{2}=4,x= \pm 2. \end{equation} Площа фігури дорівнює різниці
площ квадрата,
утворенного віссю Ох, прямою у = 4 і прямих х = -2 і х = 2,
і площею криволінійної трапеції,
утвореної графіком функції \begin{equation} y=x^{2} \end{equation} віссю Ох і прямими х = -2 і х = 2 \begin{equation} S=4^{2}-\int_{-2}^{2}x^{2}dx= \end{equation} \begin{equation} =16-\frac{x^{3}}{3} \mid^{2}_{-2}= \end{equation} \begin{equation} =16-(\frac{2^{3}}{3}+\frac{2^{3}}{3})= \end{equation} \begin{equation} =16-(\frac{8}{3}+\frac{8}{3})= \end{equation} \begin{equation} =16-\frac{16}{3}=10\frac{2}{3}. \end{equation} \begin{equation} 2)y=2x^{2}; y=2x. \end{equation} \begin{equation} 2x^{2}=2x; \end{equation} \begin{equation} 2x^{2}-2x=0; \end{equation} \begin{equation} 2x(x-1)=0; \end{equation} х = 1 і х = 0 - межі інтегрування \begin{equation} S=\int_{0}^{1}2xdx-\int_{0}^{1}2x^{2}dx= \end{equation} \begin{equation} =(\frac{2x^{2}}{2}-\frac{2x^{3}}{3}) \mid^{1}_{0} = \end{equation} \begin{equation} =\frac{2}{2}-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}; \end{equation} \begin{equation} 3)y=e^{x};y=1;x=2. \end{equation} \begin{equation} S=\int_{0}^{1}e^{x}dx-1*2= \end{equation} \begin{equation} =e^{x} \mid^{2}_{0}-2= \end{equation} \begin{equation} =e^{2}-e^{0}-2=e^{2}-3; \end{equation} \begin{equation} 4)y=\frac{4}{x};y=4;x=4. \end{equation} \begin{equation} \frac{4}{x}=1; \end{equation} \begin{equation} x=4 \end{equation} - точка перетину графіків,
верхня межа інтегрування. \begin{equation} S=\int_{1}^{4}\frac{4}{x}dx-1*3= \end{equation} \begin{equation} =4 \ln \left | x \right | \mid^{4}_{1}-3= \end{equation} \begin{equation} =4 \ln 4-4 \ln 1 -3 = \end{equation} \begin{equation} =\ln 256-3; \end{equation} \begin{equation} 5)y=\frac{4}{x}; y=4; і x=4. \end{equation} \begin{equation} \frac{4}{x}=4; \end{equation} \begin{equation} x=1 \end{equation} - нижня межа інтегрування. \begin{equation} S=3*4-\int_{1}^{4}\frac{4}{x}dx= \end{equation} \begin{equation} =12-(4 \ln \left | x \right | \mid^{4}_{1} )= \end{equation} \begin{equation} =12-(\ln 16-4 \ln 1)= \end{equation} \begin{equation} =12-\ln 16; \end{equation} \begin{equation} 6)y=x^{2}-4x+5;y=5. \end{equation} Координати вершини параболи \begin{equation} x_{0}=-\frac{-4}{2}=2; \end{equation} \begin{equation} y_{0}=2^{2}-4*2+5=1. \end{equation} Вітки параболи напрямлені вгору.
Точки перетину з прямою у = 5: \begin{equation} x^{2}-4x+5=5; \end{equation} \begin{equation} x^{2}-4x=0; \end{equation} \begin{equation} x(x-4)=0; \end{equation} х = 0 і х = 4 - межі інтегрування. \begin{equation} S=\int_{0}^{4}5dx-\int_{0}^{4}(x^{2}- \end{equation} \begin{equation} -4x+5)dx= \end{equation} \begin{equation} =\int_{0}^{4}(x^{2}+4x)dx= \end{equation} \begin{equation} =(\frac{4x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}) \mid^{4}_{0} = \end{equation} \begin{equation} =\frac{4*4^{2}}{2} -\frac{4^{3}}{3}= \end{equation} \begin{equation} =32-\frac{64}{3}= \end{equation} \begin{equation} =32-21\frac{1}{3}=10\frac{2}{3}. \end{equation} \begin{equation} 7)y=2+x=x^{2};y=2-x. \end{equation} Координати вершини параболи: \begin{equation} x_{0}=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}; \end{equation} \begin{equation} y+{0}=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+2=2\frac{1}{4} \end{equation} Вітки параболи напрямлені вниз.
Точки перетину з віссю Ох: \begin{equation} 2+x-x^{2}=0; \end{equation} \begin{equation} x^{2}-x-2=0; \end{equation} \begin{equation} x=2 і x=-1. \end{equation} Абсциси точок перетину
графіків функцій (межі інтегрування): \begin{equation} 2+x-x^{2}=2-x; \end{equation} \begin{equation} x^{2}-2x=0; \end{equation} \begin{equation} x(x-2)=0; \end{equation} \begin{equation} x=0 і x=2 \end{equation} \begin{equation} S=\int_{0}^{2}(2+x- \end{equation} \begin{equation} -x^{2})dx-\int_{0}^{3}(2-x)dx= \end{equation} \begin{equation} =\int_{0}^{2}(2+x-x^{2}-2+x)dx= \end{equation} \begin{equation} =\int_{0}^{2}(2x-x^{2})dx= \end{equation} \begin{equation} =(\frac{2x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}) \mid^{2}_{0}= \end{equation} \begin{equation} =(x^{2}-\frac{x^{3}}{3}) \mid^{2}_{0} = \end{equation} \begin{equation} =2^{2}-\frac{2^{3}}{3}=4-2\frac{2}{3}= \end{equation} \begin{equation} =1\frac{1}{3}; \end{equation} \begin{equation} 8)y=x^{2}+2; y=x+4. \end{equation} \begin{equation} x^{2}+2=x+4; \end{equation} \begin{equation} x^{2}-x-2=0; \end{equation} х = 2 і х = -1 - межі інтегрування. \begin{equation} S=\int_{-1}^{2}(x+4)dx- \end{equation} \begin{equation} -\int_{-1}^{2}(x^{2}+2)dx= \end{equation} \begin{equation} =\int_{-1}^{2}(x+4-x^{2}-2)dx= \end{equation} \begin{equation} =\int_{-1}^{2}(2+x-x^{2})dx= \end{equation} \begin{equation} =(2x+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}) \mid^{2}_{-1} = \end{equation} \begin{equation} =2*2+\frac{2^{3}}{3}-(-2+ \end{equation} \begin{equation} +\frac{(-1)^{2}}{2}-\frac{(-1)^{3}}{3})= \end{equation} \begin{equation} =4+2-\frac{8}{3}+2-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}= \end{equation} \begin{equation} =7\frac{1}{2}-\frac{9}{3}=4\frac{1}{2}; \end{equation} \begin{equation} 9)y=x^{2}+2x+1; y=x+3. \end{equation} \begin{equation} x^{2}+2x+1=x+3; \end{equation} \begin{equation} x^{2}+x-2=0; \end{equation} \begin{equation} x=-2 і x=1 \end{equation} - межі інтегрування. \begin{equation} S=\int_{-2}^{1}(x+3)dx- \end{equation} \begin{equation} -\int_{-2}^{1}(x^{2}+2x+1)dx= \end{equation} \begin{equation} =\int_{-2}^{1}(x+3-x^{2}-2x-1)dx= \end{equation} \begin{equation} =\int_{-2}^{1}(2-x-x^{2})dx= \end{equation} \begin{equation} =(2x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}) \mid^{1}_{-2}= \end{equation} \begin{equation} =2-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-(-2* \end{equation} \begin{equation} *2-\frac{(-2)^{2}}{2}-\frac{(-2)^{3}}{3})= \end{equation} \begin{equation} =2-\frac{5}{6}+4+2-\frac{8}{3}= \end{equation} \begin{equation} =8-\frac{21}{6}=8-3,5=4,5; \end{equation} \begin{equation} 10)y=-x^{2}+2x;y=x^{2}. \end{equation} \begin{equation} -x^{2}+2x=x^{2}; \end{equation} \begin{equation} 2x^{3}-2x=0; \end{equation} \begin{equation} 2x(x-1)=0; \end{equation} х = 0 і х = 1 - межі інтегрування. \begin{equation} S=\int_{0}^{1}(-x^{2}+2x)dx- \end{equation} \begin{equation} -\int_{0}^{1}x^{2}dx= \end{equation} \begin{equation} =\int_{0}^{1}(-x^{2}+2x-x^{2})dx= \end{equation} \begin{equation} =\int_{0}^{1}(-2x^{2}+2x)dx= \end{equation} \begin{equation} =(-2*\frac{x^{3}}{3}+2*\frac{x^{2}}{2}) \mid^{1}_{0}= \end{equation} \begin{equation} =(-\frac{2x^{3}}{3}+x^{2}) \mid^{1}_{0}= \end{equation} \begin{equation} -\frac{2}{3}+1=\frac{1}{3}. \end{equation} \begin{equation} 11)y=x^{3};y=x^{2}. \end{equation} \begin{equation} x^{3}=x^{2}; \end{equation} \begin{equation} x^{3}-x^{2}=0; \end{equation} \begin{equation} x^{2}(x-1)=0; \end{equation} х = 0 і х = 1 - межі інтегрування. \begin{equation} S=\int_{0}^{1}x^{2}dx-\int_{0}^{1}x^{3}dx- \end{equation} \begin{equation} -\int_{0}^{1}(x^{2}-x^{3})dx= \end{equation} \begin{equation} =(\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}) \mid^{1}_{0}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}; \end{equation} \begin{equation} 12)y=e^{x};y=e;x=0. \end{equation} \begin{equation} e^{x}=e; \end{equation} х = 1 - верхня межа інтегрування. \begin{equation} S=\int_{0}^{1}edx-\int_{0}^{1}e^{x}dx= \end{equation} \begin{equation} =\int_{0}^{1}(e-e^{x})dx= \end{equation} \begin{equation} =(ex-e^{x}) \mid^{1}_{0} = \end{equation} \begin{equation} =e-e+e^{0}=e^{0}=1. \end{equation} \begin{equation} 13)y=\frac{7}{x};x+y=8(y=8-x). \end{equation} \begin{equation} \frac{7}{x}=8-x; \end{equation} \begin{equation} \frac{7}{x}-8+x=0; \end{equation} \begin{equation} 7-8x+x^{2}=0; \end{equation} х = 7 і х = 1 - межі інтегрування. \begin{equation} S=\int_{1}^{7}(8-x)dx-\int_{1}^{7}dx= \end{equation} \begin{equation} =\int_{1}^{7}(8-x-\frac{7}{x})dx= \end{equation} \begin{equation} =(8x-\frac{x^{2}}{2}-7 \ln \left | x \right | ) \mid^{7}_{1}= \end{equation} \begin{equation} =8*7-\frac{7^{2}}{2}- \end{equation} \begin{equation} -7 \ln 7-8+\frac{1}{2}+7 \ln 1 = \end{equation} \begin{equation} = 56-\frac{49}{2}-7 \ln 7-8+\frac{1}{2}= \end{equation} \begin{equation} =48-24-7 \ln 7= \end{equation} \begin{equation} =24 -7 \ln 7; \end{equation} \begin{equation} 14)y= \sin x; \end{equation} \begin{equation} y= \cos x; x=0; \end{equation} \begin{equation} x=\frac{\pi }{4}. \end{equation} \begin{equation} S=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}} \cos xdx-\int_{0}^{\frac{\pi }{4}} \sin xdx= \end{equation} \begin{equation} =\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}(\cos x - \sin x)dx= \end{equation} \begin{equation} =(\sin x+ \cos x) \mid^{\frac{\pi }{4}}_{0}= \end{equation} \begin{equation} =\sin\frac{\pi }{4}+\cos\frac{\pi }{4}-\sin 0-\cos 0= \end{equation} \begin{equation} =\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}-0-1= \end{equation} \begin{equation} \sqrt{2}-1. \end{equation}