вправа 11.11 гдз 11 клас математика Мерзляк Номіровський 2019
Вправа 11.11
Умова:
Умова:
Знайдіть площу фігури, обмеженої:
Відповідь ГДЗ:
\begin{equation} 1)y=x^{3}; y=8; x=1. \end{equation} \begin{equation} x^{3}=8; \end{equation} \begin{equation} x=2 \end{equation} - верхня межа інтергування. \begin{equation} S=\int_{1}^{2}8dx-\int_{1}^{2}x^{3}dx= \end{equation} \begin{equation} =\int_{1}^{2}(8-x^{3})dx= \end{equation} \begin{equation} =(8x-\frac{x^{4}}{4}) \mid_{1}^{2}= \end{equation} \begin{equation} =8*2-\frac{2^{4}}{4}-8+\frac{1}{4}= \end{equation} \begin{equation} =16-\frac{16}{4}-8+\frac{1}{4}= \end{equation} \begin{equation} =4\frac{1}{4}. \end{equation} \begin{equation} 2)y=0,5x^{2};y=-x. \end{equation} \begin{equation} 0,5x^{2}=-x; \end{equation} \begin{equation} 0,5x^{2}+x=0; \end{equation} \begin{equation} x(0,5x+1)=0; \end{equation} \begin{equation} x=0 і x=-2 \end{equation} - межі інтергування. \begin{equation} S=\int_{0}^{-2}-xdx- \end{equation} \begin{equation} -\int_{0}^{-2}0,5x^{2}dx= \end{equation} \begin{equation} =\int_{0}^{-1}(-x-0,5x^{2})dx= \end{equation} \begin{equation} =(-\frac{x^{2}}{2}-\frac{0,5x^{3}}{3}) \mid_{0}^{2}=- \end{equation} \begin{equation} =-(-\frac{(-2)^{2}}{2}-\frac{0,5*(-2)^{3}}{3})= \end{equation} \begin{equation} =\frac{4}{2}-\frac{0,5*8}{3}= \end{equation} \begin{equation} =2-\frac{4}{3}=\frac{2}{3}. \end{equation} \begin{equation} 3) y=4-x^{2}; y=3. \end{equation} \begin{equation} 4-x^{2}=3; \end{equation} \begin{equation} x^{2}=1; \end{equation} \begin{equation} x= \pm 1 \end{equation} - межі інтергування. \begin{equation} S=\int_{-1}^{1}(4-x^{2})dx-\int_{-1}^{1}3dx= \end{equation} \begin{equation} =\int_{-1}^{1}(4-x^{2}-3)dx= \end{equation} \begin{equation} =\int_{-1}^{1}(1-x^{2})dx= \end{equation} \begin{equation} =(x-\frac{x^{3}}{3}) \mid_{-1}^{1}= \end{equation} \begin{equation} =1-\frac{1}{3}-(-1+\frac{1}{3})= \end{equation} \begin{equation} =1-\frac{1}{3}+1-\frac{1}{3}= \end{equation} \begin{equation} =2-\frac{2}{3}=1\frac{1}{3}. \end{equation} \begin{equation} 4)y=6+x-x^{2};y=6-2x \end{equation} Координати вершини параболи \begin{equation} x_{0}=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}; \end{equation} \begin{equation} y_{0}=6+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=6\frac{1}{4} \end{equation} Точку перетину з віссю абсцис: \begin{equation} 6+x-x^{2}=0; \end{equation} \begin{equation} x^{2}-x-6=0; \end{equation} \begin{equation} x=3 і x=-2. \end{equation} Знайдемо межі інтегрування \begin{equation} 6+x-x^{2}=6-2x; \end{equation} \begin{equation} x^{2}-3x=0; \end{equation} \begin{equation} x(x-3)=0; \end{equation} \begin{equation} x=0 і x=3 \end{equation} \begin{equation} S=\int_{0}^{3}(6+x-x^{2})dx- \end{equation} \begin{equation} -\int_{0}^{3}(6-2x)dx= \end{equation} \begin{equation} =\int_{0}^{3}(6+x-x^{2}-6+2x)dx= \end{equation} \begin{equation} =\int_{0}^{3}(3x-x^{2})dx= \end{equation} \begin{equation} =(3*\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}) \mid^{3}_{0}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{3*3^{2}}{2}-\frac{27}{3} \end{equation} \begin{equation} 13,5-9=4,5. \end{equation} \begin{equation} 5)y=x^{2}-4x+4= \end{equation} \begin{equation} =(x-2)^{2}; y=4-x^{2}; \end{equation} \begin{equation} x^{2}-4x+4=4-x^{2}; \end{equation} \begin{equation} 2x^{2}-4x=0; \end{equation} \begin{equation} 2x(x-2)=0; \end{equation} \begin{equation} x=0 і x=2 \end{equation} - межі інтегрування \begin{equation} S=\int_{0}^{2}(4-x^{3})dx- \end{equation} \begin{equation} -\int_{0}^{2}(-2x^{2}+4x)dx= \end{equation} \begin{equation} =(-2*\frac{x^{3}}{2}+4*\frac{x^{2}}{2}) \mid^{2}_{0} = \end{equation} \begin{equation} =(-\frac{2}{3}x^{3}+2x^{2})\mid^{2}_{0} = \end{equation} \begin{equation} =-\frac{2}{3}*2^{3}+2*2^{2}= \end{equation} \begin{equation} =-\frac{16}{3}+8= \end{equation} \begin{equation} =8-5\frac{1}{3}=2\frac{1}{3}. \end{equation} \begin{equation} 6)y=\frac{3}{x};y=3;x=3. \end{equation} \begin{equation} \frac{3}{x}=3; \end{equation} \begin{equation} x=1 \end{equation} - нижня межа інтегрування. \begin{equation} S=3\int_{1}^{3}dx-\int_{1}^{3}\frac{3}{x}dx= \end{equation} \begin{equation} =(3x-3 \ln \left | x \right |) \mid^{3}_{1} = \end{equation} \begin{equation} =3*3-3 \ln 3-3+3 \ln 1= \end{equation} \begin{equation} =9-3-3 \ln 3= \end{equation} \begin{equation} =6-3 \ln 3. \end{equation} \begin{equation} 7)y=e^{-x}; \end{equation} \begin{equation} y=e; \end{equation} \begin{equation} x=0. \end{equation} \begin{equation} e^{-x}=e;- \end{equation} \begin{equation} x=1; \end{equation} \begin{equation} x=-1 \end{equation} - нижня межа інтегрування \begin{equation} S=\int_{-1}^{0}edx-\int_{-1}^{0}e^{-x}dx= \end{equation} \begin{equation} =\int_{-1}^{0}(e-e^{-x})dx= \end{equation} \begin{equation} =(ex+e^{-x}) \mid^{0}_{-1}= \end{equation} \begin{equation} =0+e^{0}+e-e^{1}= \end{equation} \begin{equation} =1+e-e=1. \end{equation} \begin{equation} 8)y=\frac{5}{x}; \end{equation} \begin{equation} x+y=6; \end{equation} \begin{equation} y=6-x. \end{equation} \begin{equation} \frac{5}{x}=6-x; \end{equation} \begin{equation} x^{2}-6x+5=0; \end{equation} \begin{equation} x=1 і x=5 \end{equation} - межі інтегрування \begin{equation} S=\int_{1}^{5}(6-x)dx-\int_{1}^{5}\frac{5}{x}dx= \end{equation} \begin{equation} =\int_{1}^{5}(6-x-\frac{5}{x})dx= \end{equation} \begin{equation} =(6x-\frac{x^{2}}{2}-5 \ln \left | x \right |)\mid^{5}_{1} = \end{equation} \begin{equation} =6*5-\frac{5^{2}}{2}-5 \ln 5- \end{equation} \begin{equation} -(6-\frac{1}{2}-5 \ln 1)= \end{equation} \begin{equation} =30-12,5- \end{equation} \begin{equation} -5 \ln 5-5,5+0= \end{equation} \begin{equation} =12-5 \ln 5. \end{equation}
\begin{equation} 1)y=x^{3}; y=8; x=1. \end{equation} \begin{equation} x^{3}=8; \end{equation} \begin{equation} x=2 \end{equation} - верхня межа інтергування. \begin{equation} S=\int_{1}^{2}8dx-\int_{1}^{2}x^{3}dx= \end{equation} \begin{equation} =\int_{1}^{2}(8-x^{3})dx= \end{equation} \begin{equation} =(8x-\frac{x^{4}}{4}) \mid_{1}^{2}= \end{equation} \begin{equation} =8*2-\frac{2^{4}}{4}-8+\frac{1}{4}= \end{equation} \begin{equation} =16-\frac{16}{4}-8+\frac{1}{4}= \end{equation} \begin{equation} =4\frac{1}{4}. \end{equation} \begin{equation} 2)y=0,5x^{2};y=-x. \end{equation} \begin{equation} 0,5x^{2}=-x; \end{equation} \begin{equation} 0,5x^{2}+x=0; \end{equation} \begin{equation} x(0,5x+1)=0; \end{equation} \begin{equation} x=0 і x=-2 \end{equation} - межі інтергування. \begin{equation} S=\int_{0}^{-2}-xdx- \end{equation} \begin{equation} -\int_{0}^{-2}0,5x^{2}dx= \end{equation} \begin{equation} =\int_{0}^{-1}(-x-0,5x^{2})dx= \end{equation} \begin{equation} =(-\frac{x^{2}}{2}-\frac{0,5x^{3}}{3}) \mid_{0}^{2}=- \end{equation} \begin{equation} =-(-\frac{(-2)^{2}}{2}-\frac{0,5*(-2)^{3}}{3})= \end{equation} \begin{equation} =\frac{4}{2}-\frac{0,5*8}{3}= \end{equation} \begin{equation} =2-\frac{4}{3}=\frac{2}{3}. \end{equation} \begin{equation} 3) y=4-x^{2}; y=3. \end{equation} \begin{equation} 4-x^{2}=3; \end{equation} \begin{equation} x^{2}=1; \end{equation} \begin{equation} x= \pm 1 \end{equation} - межі інтергування. \begin{equation} S=\int_{-1}^{1}(4-x^{2})dx-\int_{-1}^{1}3dx= \end{equation} \begin{equation} =\int_{-1}^{1}(4-x^{2}-3)dx= \end{equation} \begin{equation} =\int_{-1}^{1}(1-x^{2})dx= \end{equation} \begin{equation} =(x-\frac{x^{3}}{3}) \mid_{-1}^{1}= \end{equation} \begin{equation} =1-\frac{1}{3}-(-1+\frac{1}{3})= \end{equation} \begin{equation} =1-\frac{1}{3}+1-\frac{1}{3}= \end{equation} \begin{equation} =2-\frac{2}{3}=1\frac{1}{3}. \end{equation} \begin{equation} 4)y=6+x-x^{2};y=6-2x \end{equation} Координати вершини параболи \begin{equation} x_{0}=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}; \end{equation} \begin{equation} y_{0}=6+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=6\frac{1}{4} \end{equation} Точку перетину з віссю абсцис: \begin{equation} 6+x-x^{2}=0; \end{equation} \begin{equation} x^{2}-x-6=0; \end{equation} \begin{equation} x=3 і x=-2. \end{equation} Знайдемо межі інтегрування \begin{equation} 6+x-x^{2}=6-2x; \end{equation} \begin{equation} x^{2}-3x=0; \end{equation} \begin{equation} x(x-3)=0; \end{equation} \begin{equation} x=0 і x=3 \end{equation} \begin{equation} S=\int_{0}^{3}(6+x-x^{2})dx- \end{equation} \begin{equation} -\int_{0}^{3}(6-2x)dx= \end{equation} \begin{equation} =\int_{0}^{3}(6+x-x^{2}-6+2x)dx= \end{equation} \begin{equation} =\int_{0}^{3}(3x-x^{2})dx= \end{equation} \begin{equation} =(3*\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}) \mid^{3}_{0}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{3*3^{2}}{2}-\frac{27}{3} \end{equation} \begin{equation} 13,5-9=4,5. \end{equation} \begin{equation} 5)y=x^{2}-4x+4= \end{equation} \begin{equation} =(x-2)^{2}; y=4-x^{2}; \end{equation} \begin{equation} x^{2}-4x+4=4-x^{2}; \end{equation} \begin{equation} 2x^{2}-4x=0; \end{equation} \begin{equation} 2x(x-2)=0; \end{equation} \begin{equation} x=0 і x=2 \end{equation} - межі інтегрування \begin{equation} S=\int_{0}^{2}(4-x^{3})dx- \end{equation} \begin{equation} -\int_{0}^{2}(-2x^{2}+4x)dx= \end{equation} \begin{equation} =(-2*\frac{x^{3}}{2}+4*\frac{x^{2}}{2}) \mid^{2}_{0} = \end{equation} \begin{equation} =(-\frac{2}{3}x^{3}+2x^{2})\mid^{2}_{0} = \end{equation} \begin{equation} =-\frac{2}{3}*2^{3}+2*2^{2}= \end{equation} \begin{equation} =-\frac{16}{3}+8= \end{equation} \begin{equation} =8-5\frac{1}{3}=2\frac{1}{3}. \end{equation} \begin{equation} 6)y=\frac{3}{x};y=3;x=3. \end{equation} \begin{equation} \frac{3}{x}=3; \end{equation} \begin{equation} x=1 \end{equation} - нижня межа інтегрування. \begin{equation} S=3\int_{1}^{3}dx-\int_{1}^{3}\frac{3}{x}dx= \end{equation} \begin{equation} =(3x-3 \ln \left | x \right |) \mid^{3}_{1} = \end{equation} \begin{equation} =3*3-3 \ln 3-3+3 \ln 1= \end{equation} \begin{equation} =9-3-3 \ln 3= \end{equation} \begin{equation} =6-3 \ln 3. \end{equation} \begin{equation} 7)y=e^{-x}; \end{equation} \begin{equation} y=e; \end{equation} \begin{equation} x=0. \end{equation} \begin{equation} e^{-x}=e;- \end{equation} \begin{equation} x=1; \end{equation} \begin{equation} x=-1 \end{equation} - нижня межа інтегрування \begin{equation} S=\int_{-1}^{0}edx-\int_{-1}^{0}e^{-x}dx= \end{equation} \begin{equation} =\int_{-1}^{0}(e-e^{-x})dx= \end{equation} \begin{equation} =(ex+e^{-x}) \mid^{0}_{-1}= \end{equation} \begin{equation} =0+e^{0}+e-e^{1}= \end{equation} \begin{equation} =1+e-e=1. \end{equation} \begin{equation} 8)y=\frac{5}{x}; \end{equation} \begin{equation} x+y=6; \end{equation} \begin{equation} y=6-x. \end{equation} \begin{equation} \frac{5}{x}=6-x; \end{equation} \begin{equation} x^{2}-6x+5=0; \end{equation} \begin{equation} x=1 і x=5 \end{equation} - межі інтегрування \begin{equation} S=\int_{1}^{5}(6-x)dx-\int_{1}^{5}\frac{5}{x}dx= \end{equation} \begin{equation} =\int_{1}^{5}(6-x-\frac{5}{x})dx= \end{equation} \begin{equation} =(6x-\frac{x^{2}}{2}-5 \ln \left | x \right |)\mid^{5}_{1} = \end{equation} \begin{equation} =6*5-\frac{5^{2}}{2}-5 \ln 5- \end{equation} \begin{equation} -(6-\frac{1}{2}-5 \ln 1)= \end{equation} \begin{equation} =30-12,5- \end{equation} \begin{equation} -5 \ln 5-5,5+0= \end{equation} \begin{equation} =12-5 \ln 5. \end{equation}