вправа 11.5 гдз 11 клас математика Мерзляк Номіровський 2019
Вправа 11.5
Умова:
Умова:
Знайдіть площу криволінійної трапеції, обмеженої:
Відповідь ГДЗ:
\begin{equation} 1)S=\int_{0}^{2}(x^{2}+1)dx= \end{equation} \begin{equation} =(\frac{x^{3}}{3}+x) \mid^{2}_{0}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{2^{3}}{3}+2-\frac{0^{3}}{3}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{8}{3}+2=4\frac{2}{3}; \end{equation} \begin{equation} 2)S=\int_{-\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}} \cos xdx= \end{equation} \begin{equation} =\sin x \mid^{\frac{\pi }{2}}_{-\frac{\pi }{6}} = \end{equation} \begin{equation} =\sin\frac{\pi }{2}- \sin(-\frac{\pi }{6})= \end{equation} \begin{equation} =1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}; \end{equation} \begin{equation} 3)S=\int_{-2}^{0}(-x^{3})dx= \end{equation} \begin{equation} =(-\frac{x^{4}}{4}) \mid^{0}_{2} = \end{equation} \begin{equation} =-\frac{0^{4}}{4}+\frac{(-2)^{4}}{4}=4; \end{equation} 4) Знайдемо координати вершини параболи: \begin{equation} x_{0}=-\frac{b}{2a}= \end{equation} \begin{equation} =-\frac{-2}{2*(-1)}=-1; \end{equation} \begin{equation} y_{0}=3-2*(-1)-(-1)^{2}= \end{equation} \begin{equation} =3+2-1=4. \end{equation} Вітки параболи напрямлені вниз.
Точки перетину з віссю абсцис: \begin{equation} 3-2x-x^{2}=0; \end{equation} \begin{equation} x^{2}+2x-3=0; \end{equation} \begin{equation} x_{1}=-3;x_{2}=1 \end{equation} \begin{equation} S=\int_{-2}^{0}(3-2x-x^{2})dx= \end{equation} \begin{equation} =(3x-\frac{2x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}) \mid^{0}_{-2}= \end{equation} \begin{equation} =(3x-x^{2}-\frac{x^{3}}{3}) \mid^{0}_{-2}= \end{equation} \begin{equation} =0-(3-(-2)- \end{equation} \begin{equation} -(-2)^{2}-\frac{(-2)^{3}}{3})= \end{equation} \begin{equation} =-(-6-4+\frac{8}{3})= \end{equation} \begin{equation} =6+4-\frac{8}{3}= \end{equation} \begin{equation} =10-2\frac{2}{3}=7\frac{1}{3} \end{equation} \begin{equation} 5)S=\int_{\frac{1}{4}}^{2}\frac{dx}{2x}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{2} \ln \left | x \right | \mid^{2}_{\frac{1}{4}} = \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{2} \ln 2- \frac{1}{2} \ln \frac{1}{4}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{2} \ln 2 - \frac{1}{2} \ln 2^{-2}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{2} \ln 2 + \ln 2= \end{equation} \begin{equation} =\frac{3}{2} \ln 2=\frac{1}{2} \ln 2^{3}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{2} \ln 8 \end{equation} 6) Будуємо параболу.
Її вершина: \begin{equation} x_{0}=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{-2}=1; \end{equation} \begin{equation} y_{0}=2*1-1^{2}=1 \end{equation} маємо (1; 1).
Вітки параболи направлені вниз.
Точки перетину з віссю Ох: \begin{equation} 2x-x^{2}=0; \end{equation} \begin{equation} x(2-x)=0; \end{equation} \begin{equation} x=0 і x=2 \end{equation} Це є і межі інтегрування. \begin{equation} S=\int_{0}^{2}(2x-x^{2})dx= \end{equation} \begin{equation} =(\frac{2x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}) \mid^{2}_{0}= \end{equation} \begin{equation} =4-\frac{8}{3}=1\frac{1}{3}. \end{equation}
\begin{equation} 1)S=\int_{0}^{2}(x^{2}+1)dx= \end{equation} \begin{equation} =(\frac{x^{3}}{3}+x) \mid^{2}_{0}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{2^{3}}{3}+2-\frac{0^{3}}{3}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{8}{3}+2=4\frac{2}{3}; \end{equation} \begin{equation} 2)S=\int_{-\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}} \cos xdx= \end{equation} \begin{equation} =\sin x \mid^{\frac{\pi }{2}}_{-\frac{\pi }{6}} = \end{equation} \begin{equation} =\sin\frac{\pi }{2}- \sin(-\frac{\pi }{6})= \end{equation} \begin{equation} =1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}; \end{equation} \begin{equation} 3)S=\int_{-2}^{0}(-x^{3})dx= \end{equation} \begin{equation} =(-\frac{x^{4}}{4}) \mid^{0}_{2} = \end{equation} \begin{equation} =-\frac{0^{4}}{4}+\frac{(-2)^{4}}{4}=4; \end{equation} 4) Знайдемо координати вершини параболи: \begin{equation} x_{0}=-\frac{b}{2a}= \end{equation} \begin{equation} =-\frac{-2}{2*(-1)}=-1; \end{equation} \begin{equation} y_{0}=3-2*(-1)-(-1)^{2}= \end{equation} \begin{equation} =3+2-1=4. \end{equation} Вітки параболи напрямлені вниз.
Точки перетину з віссю абсцис: \begin{equation} 3-2x-x^{2}=0; \end{equation} \begin{equation} x^{2}+2x-3=0; \end{equation} \begin{equation} x_{1}=-3;x_{2}=1 \end{equation} \begin{equation} S=\int_{-2}^{0}(3-2x-x^{2})dx= \end{equation} \begin{equation} =(3x-\frac{2x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}) \mid^{0}_{-2}= \end{equation} \begin{equation} =(3x-x^{2}-\frac{x^{3}}{3}) \mid^{0}_{-2}= \end{equation} \begin{equation} =0-(3-(-2)- \end{equation} \begin{equation} -(-2)^{2}-\frac{(-2)^{3}}{3})= \end{equation} \begin{equation} =-(-6-4+\frac{8}{3})= \end{equation} \begin{equation} =6+4-\frac{8}{3}= \end{equation} \begin{equation} =10-2\frac{2}{3}=7\frac{1}{3} \end{equation} \begin{equation} 5)S=\int_{\frac{1}{4}}^{2}\frac{dx}{2x}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{2} \ln \left | x \right | \mid^{2}_{\frac{1}{4}} = \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{2} \ln 2- \frac{1}{2} \ln \frac{1}{4}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{2} \ln 2 - \frac{1}{2} \ln 2^{-2}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{2} \ln 2 + \ln 2= \end{equation} \begin{equation} =\frac{3}{2} \ln 2=\frac{1}{2} \ln 2^{3}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{2} \ln 8 \end{equation} 6) Будуємо параболу.
Її вершина: \begin{equation} x_{0}=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{-2}=1; \end{equation} \begin{equation} y_{0}=2*1-1^{2}=1 \end{equation} маємо (1; 1).
Вітки параболи направлені вниз.
Точки перетину з віссю Ох: \begin{equation} 2x-x^{2}=0; \end{equation} \begin{equation} x(2-x)=0; \end{equation} \begin{equation} x=0 і x=2 \end{equation} Це є і межі інтегрування. \begin{equation} S=\int_{0}^{2}(2x-x^{2})dx= \end{equation} \begin{equation} =(\frac{2x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}) \mid^{2}_{0}= \end{equation} \begin{equation} =4-\frac{8}{3}=1\frac{1}{3}. \end{equation}