вправа 13.16 гдз 11 клас математика Мерзляк Номіровський 2019
Вправа 13.16
Умова:
Умова:
Пряма та коло не мають спільних точок. На колі позначено 9 червоних точок, а на прямій - 15 синіх точок. Відомо, що жодна пряма, яка проходить через дві червоні точки, не містить синіх точок. Скільки існує трикутників із вершинами в цих точках?
Відповідь ГДЗ:
І спосіб.
По-перше, існують трикутники з вершинами тільки у червоних точках.
Оскільки порядок вибору точок не важливий, то кількість таких трикутників дрівнює \begin{equation} C^{3}_{9}. \end{equation} За умвою ніякі дві червоні точки не лежать на одній прямій з ніякою синьою, тому вони утворюють \begin{equation} 15•C^{3}_{9} \end{equation} трикутників.
Нарешті, у трикутника може бути пара синіх і одна червона вершина, таких трикутників \begin{equation} 9•C^{2}_{15}. \end{equation} Усього існує \begin{equation} C^{3}_{9}+15•C^{2}_{9}+9•C^{2}_{15} \end{equation} трикутників
ІІ спосіб.
Усього точок 9 + 15 = 24.
Їх можно об'єднати по 3 \begin{equation} C^{3}_{24} \end{equation} способами.
Але серед цих трійок є \begin{equation} C^{3}_{15} \end{equation} таких, що лежать на одній прямій.
Тоді число трикутників \begin{equation} C^{3}_{24}-C^{3}_{15}. \end{equation}
І спосіб.
По-перше, існують трикутники з вершинами тільки у червоних точках.
Оскільки порядок вибору точок не важливий, то кількість таких трикутників дрівнює \begin{equation} C^{3}_{9}. \end{equation} За умвою ніякі дві червоні точки не лежать на одній прямій з ніякою синьою, тому вони утворюють \begin{equation} 15•C^{3}_{9} \end{equation} трикутників.
Нарешті, у трикутника може бути пара синіх і одна червона вершина, таких трикутників \begin{equation} 9•C^{2}_{15}. \end{equation} Усього існує \begin{equation} C^{3}_{9}+15•C^{2}_{9}+9•C^{2}_{15} \end{equation} трикутників
ІІ спосіб.
Усього точок 9 + 15 = 24.
Їх можно об'єднати по 3 \begin{equation} C^{3}_{24} \end{equation} способами.
Але серед цих трійок є \begin{equation} C^{3}_{15} \end{equation} таких, що лежать на одній прямій.
Тоді число трикутників \begin{equation} C^{3}_{24}-C^{3}_{15}. \end{equation}