вправа 2.11 гдз 11 клас математика Мерзляк Номіровський 2019
Вправа 2.11
Умова:
Умова:
Розв'яжіть рівняння:
Відповідь ГДЗ:
\begin{equation} 1)2^{2x+1}-5*2^{x}+2=0; \end{equation} \begin{equation} 2*2^{2x}-5*2^{x}+2=0; \end{equation} \begin{equation} 2^{x}=a; \end{equation} \begin{equation} 2a^{2}-5a+2=0; \end{equation} \begin{equation} D=b^{2}-4ac= \end{equation} \begin{equation} =25-4*2*2=9 ; \end{equation} \begin{equation} a_{1}=\frac{5+3}{4}=2; \end{equation} \begin{equation} a_{2}=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2}; \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} 2^{x}=2 \\ 2^{x}=\frac{1}{2} \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} 2^{x}=2^{1} \\ 2^{x}=2^{1} \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} x=1 \\ x=-1 \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: 1; -1. \begin{equation} 2)5^{2x-3}-2*5^{x-2}=3; \end{equation} \begin{equation} \frac{5^{2x}}{5^{3}}-2*\frac{5^{x}}{5^{2}}-3=0; \end{equation} помножимо обидві частини рівняння на \begin{equation} 5^{3}=125. \end{equation} \begin{equation} 5^{2x}-10*5^{x}-375=0; \end{equation} позначимо \begin{equation} 5^{x}=a, \end{equation} тоді маємо рівняння \begin{equation} a^{2}-10a-375=0. \end{equation} Звідси \begin{equation} a_{1}=-15, a_{2}=25. \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} 5^{x}=-15 \\ 5^{x}=25 \end{bmatrix} \end{equation} Перше рівняння сукупності розв'язків не має, бо \begin{equation} 5^{x}> 0 \end{equation} При будь якому х.
З другого рівняння \begin{equation} 5^{x}=5^{2}; x=2. \end{equation} \begin{equation} 3)9^{x}-6*3^{x-1}=3; \end{equation} \begin{equation} 3^{2x}-\frac{6*3^{x}}{3}-3=0; \end{equation} \begin{equation} 3*3^{2x}-6*3^{x}-9=0; \end{equation} \begin{equation} 3^{2x}-2*3^{x}-3=0. \end{equation} Нехай \begin{equation} 3^{x}=a, \end{equation} тоді \begin{equation} a^{2}-2a-3=0; \end{equation} \begin{equation} a_{1}=3, a_{2}=-1. \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} 3^{x}=3 \\ 3^{x}=-1 \end{bmatrix} \end{equation} Друге рівняння сукупності розв'язків не має, бо \begin{equation} 3^{x}>0 \end{equation} При кожному x ∈ R.
З першого рівняння \begin{equation} 3^{x}=3^{1}; x=1. \end{equation} \begin{equation} 4)\frac{9}{2^{x}-1}-\frac{21}{2^{x}+1}=2; \end{equation} \begin{equation} \frac{9(2^{x}+1)-21(2^{x}-1)}{(2^{x}-1)(2^{x}+1)}=2; \end{equation} \begin{equation} \frac{9*2^{x}+9-21*2^{x}+21}{2^{2x}-1} \end{equation} \begin{equation} \frac{30-12*2^{x}}{2^{x2}-1}-2=0. \end{equation} Оскільки вихідне рівняння має зміст лише при x ≠ 0 (бо інакше) \begin{equation} 2^{0}-1=0 ; \end{equation} то можемо домножити обідві частини одержанного рівняння на \begin{equation} 2^{2x}-1\neq 0 : \end{equation} \begin{equation} 30-12*2^{x}-2*2^{2x}+2=0; \end{equation} \begin{equation} 2*2^{2x}+12*2^{x}*32=0; \end{equation} \begin{equation} 2^{2x}+6*2^{x}-16=0; \end{equation} позначивши \begin{equation} 2^{x}=a, \end{equation} маємо: \begin{equation} a^{2}+6a-16=0, \end{equation} звідки \begin{equation} a_{1}=-1, a_{2}=2. \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} 2^{x}=-8 \\ 2^{x}=2 \end{bmatrix} \end{equation} Перше рівняння сукупності розв'язків не має.
З другого рівняння \begin{equation} 2^{x}=2^{1}, \end{equation} \begin{equation} x=1. \end{equation} Відповідь: 1.
\begin{equation} 1)2^{2x+1}-5*2^{x}+2=0; \end{equation} \begin{equation} 2*2^{2x}-5*2^{x}+2=0; \end{equation} \begin{equation} 2^{x}=a; \end{equation} \begin{equation} 2a^{2}-5a+2=0; \end{equation} \begin{equation} D=b^{2}-4ac= \end{equation} \begin{equation} =25-4*2*2=9 ; \end{equation} \begin{equation} a_{1}=\frac{5+3}{4}=2; \end{equation} \begin{equation} a_{2}=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2}; \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} 2^{x}=2 \\ 2^{x}=\frac{1}{2} \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} 2^{x}=2^{1} \\ 2^{x}=2^{1} \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} x=1 \\ x=-1 \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: 1; -1. \begin{equation} 2)5^{2x-3}-2*5^{x-2}=3; \end{equation} \begin{equation} \frac{5^{2x}}{5^{3}}-2*\frac{5^{x}}{5^{2}}-3=0; \end{equation} помножимо обидві частини рівняння на \begin{equation} 5^{3}=125. \end{equation} \begin{equation} 5^{2x}-10*5^{x}-375=0; \end{equation} позначимо \begin{equation} 5^{x}=a, \end{equation} тоді маємо рівняння \begin{equation} a^{2}-10a-375=0. \end{equation} Звідси \begin{equation} a_{1}=-15, a_{2}=25. \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} 5^{x}=-15 \\ 5^{x}=25 \end{bmatrix} \end{equation} Перше рівняння сукупності розв'язків не має, бо \begin{equation} 5^{x}> 0 \end{equation} При будь якому х.
З другого рівняння \begin{equation} 5^{x}=5^{2}; x=2. \end{equation} \begin{equation} 3)9^{x}-6*3^{x-1}=3; \end{equation} \begin{equation} 3^{2x}-\frac{6*3^{x}}{3}-3=0; \end{equation} \begin{equation} 3*3^{2x}-6*3^{x}-9=0; \end{equation} \begin{equation} 3^{2x}-2*3^{x}-3=0. \end{equation} Нехай \begin{equation} 3^{x}=a, \end{equation} тоді \begin{equation} a^{2}-2a-3=0; \end{equation} \begin{equation} a_{1}=3, a_{2}=-1. \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} 3^{x}=3 \\ 3^{x}=-1 \end{bmatrix} \end{equation} Друге рівняння сукупності розв'язків не має, бо \begin{equation} 3^{x}>0 \end{equation} При кожному x ∈ R.
З першого рівняння \begin{equation} 3^{x}=3^{1}; x=1. \end{equation} \begin{equation} 4)\frac{9}{2^{x}-1}-\frac{21}{2^{x}+1}=2; \end{equation} \begin{equation} \frac{9(2^{x}+1)-21(2^{x}-1)}{(2^{x}-1)(2^{x}+1)}=2; \end{equation} \begin{equation} \frac{9*2^{x}+9-21*2^{x}+21}{2^{2x}-1} \end{equation} \begin{equation} \frac{30-12*2^{x}}{2^{x2}-1}-2=0. \end{equation} Оскільки вихідне рівняння має зміст лише при x ≠ 0 (бо інакше) \begin{equation} 2^{0}-1=0 ; \end{equation} то можемо домножити обідві частини одержанного рівняння на \begin{equation} 2^{2x}-1\neq 0 : \end{equation} \begin{equation} 30-12*2^{x}-2*2^{2x}+2=0; \end{equation} \begin{equation} 2*2^{2x}+12*2^{x}*32=0; \end{equation} \begin{equation} 2^{2x}+6*2^{x}-16=0; \end{equation} позначивши \begin{equation} 2^{x}=a, \end{equation} маємо: \begin{equation} a^{2}+6a-16=0, \end{equation} звідки \begin{equation} a_{1}=-1, a_{2}=2. \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} 2^{x}=-8 \\ 2^{x}=2 \end{bmatrix} \end{equation} Перше рівняння сукупності розв'язків не має.
З другого рівняння \begin{equation} 2^{x}=2^{1}, \end{equation} \begin{equation} x=1. \end{equation} Відповідь: 1.