вправа 2.12 гдз 11 клас математика Мерзляк Номіровський 2019
Вправа 2.12
Умова:
Умова:
Розв'яжіть рівняння:
ГДЗ:
\begin{equation} 1)3^{2x+1}-10*3^{x}+3=0; \end{equation} \begin{equation} 3*3^{2x}-10*3^{x}+3=0. \end{equation} Нехай \begin{equation} 3^{x}=a \end{equation} тоді маємо \begin{equation} 3a^{2}-10a+3=0. \end{equation} \begin{equation} D=b^{2}-4ac= \end{equation} \begin{equation} =100-4*3*3= \end{equation} \begin{equation} =100-36=64. \end{equation} \begin{equation} a_{1}=\frac{10+8}{6}=3; \end{equation} \begin{equation} a_{2}=\frac{10-8}{6}=\frac{1}{3}. \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} 3^{x}=3 \\ 3^{x}=\frac{1}{3} \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} 3^{x}=3^{1} \\ 3^{x}=3^{-1} \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} x=1 \\ x=-1 \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: 1; -1. \begin{equation} 2)4^{x+0,5}+7*2^{x}=4; \end{equation} \begin{equation} 2^{2(x+0,5)}+7*2^{x}-4=0; \end{equation} \begin{equation} 2^{2x}*2+7*2^{x}-4=0. \end{equation} Нехай \begin{equation} 2^{x}=b, \end{equation} тоді \begin{equation} 2b^{2}+7^{b}-4=0, \end{equation} звідки \begin{equation} b_{1}=\frac{1}{2};b_{2}=-4. \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} 2^{x}=-4 \\ 2^{x}=\frac{1}{2} \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} 2^{x}=-4 \\ 2^{x}=2^{-1} \end{bmatrix} \end{equation} Перше рівняння розв'язків не має.
З другого рівняння \begin{equation} 2^{x}=2^{1}; \end{equation} \begin{equation} x=-1. \end{equation} Відповідь: -1. \begin{equation} 3)3*5^{2x-1}-2*5^{x-1}=0,2; \end{equation} \begin{equation} \frac{3*5^{2x}}{5}-\frac{2*5^{x}}{5}-\frac{1}{5}=0, \end{equation} Помножим обидві частини на 5, отримаємо \begin{equation} 3*5^{2x}-2*5^{x}-1=0. \end{equation} Нехай \begin{equation} 5^{x}=a, \end{equation} тоді маємо \begin{equation} 3^{a2}-2a-1=0; \end{equation} \begin{equation} D=4+4*3*1=16. \end{equation} \begin{equation} a_{1}=\frac{2+4}{6}=1; \end{equation} \begin{equation} a_{2}=\frac{2-4}{6}=-\frac{1}{3}. \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} 5^{x}=1 \\ 5^{x}=-\frac{1}{3} \end{bmatrix} \end{equation} Друге рівняння розв'язків не має.
З першого \begin{equation} 5^{x}=5^{0}; x=0. \end{equation} Відповідь: 0. \begin{equation} 4)\frac{5}{3^{x}-6}+\frac{5}{3^{x}+6}=2; \end{equation} \begin{equation} \frac{5(3^{x}+6)+5(3^{x}-6)}{(3^{x}-6)(3^{x}+6)}=2; \end{equation} \begin{equation} \frac{5*3^{x}+30+5*3^{x}-30}{3^{2x}-36}-2=0; \end{equation} \begin{equation} \frac{10*3^{x}}{3^{2x}-36}-2=0; \end{equation} \begin{equation} 10*3^{x}-2(3^{2x}-36)=0; \end{equation} \begin{equation} 2*3^{2x}-10*3^{x}-72=0; \end{equation} \begin{equation} 3^{2x}-5*3^{x}-36=0. \end{equation} Нехай \begin{equation} 3^{x}=a, \end{equation} тоді маємо \begin{equation} a^{2}-5a-36=0; \end{equation} \begin{equation} a_{1}=9, a_{2}=-4. \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} 3^{x}=9 \\ 3^{x}=-4 \end{bmatrix} \end{equation} Друге рівняння сукупності розв'язків не має.
З першого рівняння \begin{equation} 3^{x}=3^{2}; \end{equation} \begin{equation} x=2. \end{equation} Відповідь: 2.
\begin{equation} 1)3^{2x+1}-10*3^{x}+3=0; \end{equation} \begin{equation} 3*3^{2x}-10*3^{x}+3=0. \end{equation} Нехай \begin{equation} 3^{x}=a \end{equation} тоді маємо \begin{equation} 3a^{2}-10a+3=0. \end{equation} \begin{equation} D=b^{2}-4ac= \end{equation} \begin{equation} =100-4*3*3= \end{equation} \begin{equation} =100-36=64. \end{equation} \begin{equation} a_{1}=\frac{10+8}{6}=3; \end{equation} \begin{equation} a_{2}=\frac{10-8}{6}=\frac{1}{3}. \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} 3^{x}=3 \\ 3^{x}=\frac{1}{3} \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} 3^{x}=3^{1} \\ 3^{x}=3^{-1} \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} x=1 \\ x=-1 \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: 1; -1. \begin{equation} 2)4^{x+0,5}+7*2^{x}=4; \end{equation} \begin{equation} 2^{2(x+0,5)}+7*2^{x}-4=0; \end{equation} \begin{equation} 2^{2x}*2+7*2^{x}-4=0. \end{equation} Нехай \begin{equation} 2^{x}=b, \end{equation} тоді \begin{equation} 2b^{2}+7^{b}-4=0, \end{equation} звідки \begin{equation} b_{1}=\frac{1}{2};b_{2}=-4. \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} 2^{x}=-4 \\ 2^{x}=\frac{1}{2} \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} 2^{x}=-4 \\ 2^{x}=2^{-1} \end{bmatrix} \end{equation} Перше рівняння розв'язків не має.
З другого рівняння \begin{equation} 2^{x}=2^{1}; \end{equation} \begin{equation} x=-1. \end{equation} Відповідь: -1. \begin{equation} 3)3*5^{2x-1}-2*5^{x-1}=0,2; \end{equation} \begin{equation} \frac{3*5^{2x}}{5}-\frac{2*5^{x}}{5}-\frac{1}{5}=0, \end{equation} Помножим обидві частини на 5, отримаємо \begin{equation} 3*5^{2x}-2*5^{x}-1=0. \end{equation} Нехай \begin{equation} 5^{x}=a, \end{equation} тоді маємо \begin{equation} 3^{a2}-2a-1=0; \end{equation} \begin{equation} D=4+4*3*1=16. \end{equation} \begin{equation} a_{1}=\frac{2+4}{6}=1; \end{equation} \begin{equation} a_{2}=\frac{2-4}{6}=-\frac{1}{3}. \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} 5^{x}=1 \\ 5^{x}=-\frac{1}{3} \end{bmatrix} \end{equation} Друге рівняння розв'язків не має.
З першого \begin{equation} 5^{x}=5^{0}; x=0. \end{equation} Відповідь: 0. \begin{equation} 4)\frac{5}{3^{x}-6}+\frac{5}{3^{x}+6}=2; \end{equation} \begin{equation} \frac{5(3^{x}+6)+5(3^{x}-6)}{(3^{x}-6)(3^{x}+6)}=2; \end{equation} \begin{equation} \frac{5*3^{x}+30+5*3^{x}-30}{3^{2x}-36}-2=0; \end{equation} \begin{equation} \frac{10*3^{x}}{3^{2x}-36}-2=0; \end{equation} \begin{equation} 10*3^{x}-2(3^{2x}-36)=0; \end{equation} \begin{equation} 2*3^{2x}-10*3^{x}-72=0; \end{equation} \begin{equation} 3^{2x}-5*3^{x}-36=0. \end{equation} Нехай \begin{equation} 3^{x}=a, \end{equation} тоді маємо \begin{equation} a^{2}-5a-36=0; \end{equation} \begin{equation} a_{1}=9, a_{2}=-4. \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} 3^{x}=9 \\ 3^{x}=-4 \end{bmatrix} \end{equation} Друге рівняння сукупності розв'язків не має.
З першого рівняння \begin{equation} 3^{x}=3^{2}; \end{equation} \begin{equation} x=2. \end{equation} Відповідь: 2.