вправа 2.13 гдз 11 клас математика Мерзляк Номіровський 2019
Вправа 2.13
Умова:
Умова:
Розв'яжіть рівняння:
ГДЗ:
\begin{equation} 2)3^{x^{2}+2}-5^{x^{2}-1}= \end{equation} \begin{equation} =5^{x^{2}-1}+3^{x^{2}-1}; \end{equation} \begin{equation} 3^{x^{2}+2}-3^{x^{2}-1}-5^{x^{2}-1}-5^{x^{2}-1}; \end{equation} \begin{equation} 3^{x^{2}-1}(3^{x^{2}-2-x^{2}+1}-1)= \end{equation} \begin{equation} =5^{x^{2}-1}(1+5^{x^{2}+1-x^{2}+1}); \end{equation} \begin{equation} 3^{x^{2}-1}(27-1)=5^{x^{2}-1}(1+25); \end{equation} \begin{equation} 26*3^{x^{2}-1}=26*5^{x^{2}-1}; \end{equation} \begin{equation} 3^{x^{2}-1}=5^{x^{2}-1}; \end{equation} \begin{equation} (\frac{3}{5})^{x^{2}-1}=1; \end{equation} \begin{equation} (\frac{3}{5})^{x^{2}-1}= \end{equation} \begin{equation} =(\frac{3}{5})^{0}; \end{equation} \begin{equation} x^{2}-1=0; \end{equation} \begin{equation} x=\pm 1. \end{equation} Відповідь:-1; 1. \begin{equation} 4)2^{x}+2^{x-1}+2^{x-2}= \end{equation} \begin{equation} =3^{x}-3^{x-1}+3^{x-2}; \end{equation} \begin{equation} 2^{x-2}(2^{x-x+2}+2^{x-1-x+2}+1)= \end{equation} \begin{equation} =3^{x-1}(3^{x-x+2}-3^{x-1-x+2}+1); \end{equation} \begin{equation} 2^{x-2}(4+2+1)= \end{equation} \begin{equation} =3^{x-2}(9-3+1); \end{equation} \begin{equation} 7*2^{x-2}=7*3^{x-2}; \end{equation} \begin{equation} 2^{x-2}=3^{x-2}. \end{equation} Оскільки \begin{equation} 3^{x-2}\neq 0; \end{equation} при будь-якому х, то, поділивши
обидві частини рівняння на \begin{equation} 3^{x-2} \end{equation} отримаємо рівняння, равносильне данному: \begin{equation} \frac{2^{x-2}}{3^{x-2}}=1; \end{equation} \begin{equation} (\frac{2}{3})^{x-2}=(\frac{2}{3})^{0}; \end{equation} \begin{equation} x-2=0; \begin{equation} x=2. \end{equation} \end{equation} Відповідь: 2.
\begin{equation} 2)3^{x^{2}+2}-5^{x^{2}-1}= \end{equation} \begin{equation} =5^{x^{2}-1}+3^{x^{2}-1}; \end{equation} \begin{equation} 3^{x^{2}+2}-3^{x^{2}-1}-5^{x^{2}-1}-5^{x^{2}-1}; \end{equation} \begin{equation} 3^{x^{2}-1}(3^{x^{2}-2-x^{2}+1}-1)= \end{equation} \begin{equation} =5^{x^{2}-1}(1+5^{x^{2}+1-x^{2}+1}); \end{equation} \begin{equation} 3^{x^{2}-1}(27-1)=5^{x^{2}-1}(1+25); \end{equation} \begin{equation} 26*3^{x^{2}-1}=26*5^{x^{2}-1}; \end{equation} \begin{equation} 3^{x^{2}-1}=5^{x^{2}-1}; \end{equation} \begin{equation} (\frac{3}{5})^{x^{2}-1}=1; \end{equation} \begin{equation} (\frac{3}{5})^{x^{2}-1}= \end{equation} \begin{equation} =(\frac{3}{5})^{0}; \end{equation} \begin{equation} x^{2}-1=0; \end{equation} \begin{equation} x=\pm 1. \end{equation} Відповідь:-1; 1. \begin{equation} 4)2^{x}+2^{x-1}+2^{x-2}= \end{equation} \begin{equation} =3^{x}-3^{x-1}+3^{x-2}; \end{equation} \begin{equation} 2^{x-2}(2^{x-x+2}+2^{x-1-x+2}+1)= \end{equation} \begin{equation} =3^{x-1}(3^{x-x+2}-3^{x-1-x+2}+1); \end{equation} \begin{equation} 2^{x-2}(4+2+1)= \end{equation} \begin{equation} =3^{x-2}(9-3+1); \end{equation} \begin{equation} 7*2^{x-2}=7*3^{x-2}; \end{equation} \begin{equation} 2^{x-2}=3^{x-2}. \end{equation} Оскільки \begin{equation} 3^{x-2}\neq 0; \end{equation} при будь-якому х, то, поділивши
обидві частини рівняння на \begin{equation} 3^{x-2} \end{equation} отримаємо рівняння, равносильне данному: \begin{equation} \frac{2^{x-2}}{3^{x-2}}=1; \end{equation} \begin{equation} (\frac{2}{3})^{x-2}=(\frac{2}{3})^{0}; \end{equation} \begin{equation} x-2=0; \begin{equation} x=2. \end{equation} \end{equation} Відповідь: 2.