вправа 2.19 гдз 11 клас математика Мерзляк Номіровський 2019
Вправа 2.19
Умова:
Умова:
Розв'яжіть рівняння.
Відповідь ГДЗ:
\begin{equation} 1) 3*2^{2x}-5*6^{x}+2*3^{2x}=0. \end{equation} Оскільки \begin{equation} 3^{2x}\neq 0 \end{equation} при будь якому х, то поділивши
обидві частини рівняння на 32х
отримаємо рівняння, равносильне данному: \begin{equation} 3*\frac{2^{2x}}{3^{2x}}-5*\frac{2^{2x}*3^{x}}{3^{2x}}+ \end{equation} \begin{equation} +2*\frac{3^{2x}}{3^{2x}}=0; \end{equation} \begin{equation} 3*(\frac{2}{3})^{2x}-5*(\frac{2}{3})^{x}+2=0. \end{equation} Нехай \begin{equation} (\frac{2}{3})^{x}=t \end{equation} тоді маємо: \begin{equation} 3t^{2}-5t+2=0; \end{equation} \begin{equation} D=5^{2}-4*3*2= \end{equation} \begin{equation} =25-24=1; \end{equation} \begin{equation} t_1=\frac{5+1}{6}=1; \end{equation} \begin{equation} t_2=\frac{5-1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} * \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} (\frac{2}{3})^{x}=1, \\ (\frac{2}{3})^{x}=\frac{2}{3}; \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x=0 \\ x=1. \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} 2)2^{2x+1}-7*10^{x}+25^{x+0,5}=0; \end{equation} \begin{equation} 2*2^{2x}-7*2^{x}*5^{x}+ \end{equation} \begin{equation} +5^{2x}*5=0; \end{equation} \begin{equation} \frac{2*2^{2x}}{5^{2x}}-\frac{7*2^{x}*5^{x}}{5^{2x}}+ \end{equation} \begin{equation} +\frac{7*5^{2x}}{5^{2x}}=0; \end{equation} \begin{equation} 2*(\frac{2}{5})^{2x}-7*(\frac{2}{5})^{x}+5=0. \end{equation} \begin{equation} (\frac{2}{5})^{x}=a; \end{equation} \begin{equation} 2a^{2}-7a+5=0; \end{equation} \begin{equation} D=(-7)^{2}-4*2*5= \end{equation} \begin{equation} =49-40=9; \end{equation} \begin{equation} a_1=\frac{7+\sqrt{9}}{4}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{7+3}{4}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}; \end{equation} \begin{equation} a_2=\frac{7+3}{4}=1. \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} (\frac{2}{5})^{x}=\frac{5}{2}, \\ (\frac{2}{5})^{x}=1; \end{bmatrix} \begin{bmatrix} (\frac{2}{5})^{x}=(\frac{2}{5})^{1} \\ (\frac{2}{5})^{x}=(\frac{2}{5})^{0}; \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} x=-1 \\ x=0. \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} 3)7*49^{x}+3*28^{x}=4*16^{x}; \end{equation} \begin{equation} 7*7^{2x}+3*7^{x}*4^{x}- \end{equation} \begin{equation} -4*4^{2x}=0; \end{equation} \begin{equation} 7*(\frac{7}{4})^{2x}+ \end{equation} \begin{equation} +3*(\frac{7}{4})^{x}-4=0. \end{equation} Позначимо \begin{equation} (\frac{7}{4})^{x}=a: \end{equation} \begin{equation} 7a^{2}+3a-4=0; \end{equation} \begin{equation} D=3^{2}-4*7*(-1)= \end{equation} \begin{equation} =9+112=121; \end{equation} \begin{equation} a_1=\frac{-3+11}{14}=\frac{8}{14}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{4}{7}; \end{equation} \begin{equation} a_2=\frac{-3-11}{14}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{14}{14}=-1. \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} (\frac{7}{4})^{x}=\frac{4}{7}, \\ (\frac{7}{4})^{x}=-1 \end{bmatrix} \end{equation} - немає розв'язків, бо \begin{equation} (\frac{7}{4})^{2x}>0. \end{equation} \begin{equation} (\frac{7}{4})^{x}=\frac{4}{7}; \end{equation} \begin{equation} (\frac{7}{4})^{x}=(\frac{7}{4})^{-1}; \end{equation} \begin{equation} x=-1. \end{equation} \begin{equation} 4)9^{x}+4^{x}=2*6^{x}; \end{equation} \begin{equation} 3^{2x}-2*2^{x}*3^{x}+2^{2x}=0; \end{equation} \begin{equation} (\frac{3}{2})^{2x}-2(\frac{2}{3})^{x}+1=0; \end{equation} \begin{equation} (\frac{3}{2})^{x}=t; \end{equation} \begin{equation} t^{2}-2t+1=0; \end{equation} \begin{equation} (t-1)^{2}=0; \end{equation} \begin{equation} t=1. \end{equation} \begin{equation} (\frac{3}{2})^{x}=1;x=0. \end{equation}
\begin{equation} 1) 3*2^{2x}-5*6^{x}+2*3^{2x}=0. \end{equation} Оскільки \begin{equation} 3^{2x}\neq 0 \end{equation} при будь якому х, то поділивши
обидві частини рівняння на 32х
отримаємо рівняння, равносильне данному: \begin{equation} 3*\frac{2^{2x}}{3^{2x}}-5*\frac{2^{2x}*3^{x}}{3^{2x}}+ \end{equation} \begin{equation} +2*\frac{3^{2x}}{3^{2x}}=0; \end{equation} \begin{equation} 3*(\frac{2}{3})^{2x}-5*(\frac{2}{3})^{x}+2=0. \end{equation} Нехай \begin{equation} (\frac{2}{3})^{x}=t \end{equation} тоді маємо: \begin{equation} 3t^{2}-5t+2=0; \end{equation} \begin{equation} D=5^{2}-4*3*2= \end{equation} \begin{equation} =25-24=1; \end{equation} \begin{equation} t_1=\frac{5+1}{6}=1; \end{equation} \begin{equation} t_2=\frac{5-1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} * \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} (\frac{2}{3})^{x}=1, \\ (\frac{2}{3})^{x}=\frac{2}{3}; \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x=0 \\ x=1. \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} 2)2^{2x+1}-7*10^{x}+25^{x+0,5}=0; \end{equation} \begin{equation} 2*2^{2x}-7*2^{x}*5^{x}+ \end{equation} \begin{equation} +5^{2x}*5=0; \end{equation} \begin{equation} \frac{2*2^{2x}}{5^{2x}}-\frac{7*2^{x}*5^{x}}{5^{2x}}+ \end{equation} \begin{equation} +\frac{7*5^{2x}}{5^{2x}}=0; \end{equation} \begin{equation} 2*(\frac{2}{5})^{2x}-7*(\frac{2}{5})^{x}+5=0. \end{equation} \begin{equation} (\frac{2}{5})^{x}=a; \end{equation} \begin{equation} 2a^{2}-7a+5=0; \end{equation} \begin{equation} D=(-7)^{2}-4*2*5= \end{equation} \begin{equation} =49-40=9; \end{equation} \begin{equation} a_1=\frac{7+\sqrt{9}}{4}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{7+3}{4}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}; \end{equation} \begin{equation} a_2=\frac{7+3}{4}=1. \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} (\frac{2}{5})^{x}=\frac{5}{2}, \\ (\frac{2}{5})^{x}=1; \end{bmatrix} \begin{bmatrix} (\frac{2}{5})^{x}=(\frac{2}{5})^{1} \\ (\frac{2}{5})^{x}=(\frac{2}{5})^{0}; \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} x=-1 \\ x=0. \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} 3)7*49^{x}+3*28^{x}=4*16^{x}; \end{equation} \begin{equation} 7*7^{2x}+3*7^{x}*4^{x}- \end{equation} \begin{equation} -4*4^{2x}=0; \end{equation} \begin{equation} 7*(\frac{7}{4})^{2x}+ \end{equation} \begin{equation} +3*(\frac{7}{4})^{x}-4=0. \end{equation} Позначимо \begin{equation} (\frac{7}{4})^{x}=a: \end{equation} \begin{equation} 7a^{2}+3a-4=0; \end{equation} \begin{equation} D=3^{2}-4*7*(-1)= \end{equation} \begin{equation} =9+112=121; \end{equation} \begin{equation} a_1=\frac{-3+11}{14}=\frac{8}{14}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{4}{7}; \end{equation} \begin{equation} a_2=\frac{-3-11}{14}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{14}{14}=-1. \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} (\frac{7}{4})^{x}=\frac{4}{7}, \\ (\frac{7}{4})^{x}=-1 \end{bmatrix} \end{equation} - немає розв'язків, бо \begin{equation} (\frac{7}{4})^{2x}>0. \end{equation} \begin{equation} (\frac{7}{4})^{x}=\frac{4}{7}; \end{equation} \begin{equation} (\frac{7}{4})^{x}=(\frac{7}{4})^{-1}; \end{equation} \begin{equation} x=-1. \end{equation} \begin{equation} 4)9^{x}+4^{x}=2*6^{x}; \end{equation} \begin{equation} 3^{2x}-2*2^{x}*3^{x}+2^{2x}=0; \end{equation} \begin{equation} (\frac{3}{2})^{2x}-2(\frac{2}{3})^{x}+1=0; \end{equation} \begin{equation} (\frac{3}{2})^{x}=t; \end{equation} \begin{equation} t^{2}-2t+1=0; \end{equation} \begin{equation} (t-1)^{2}=0; \end{equation} \begin{equation} t=1. \end{equation} \begin{equation} (\frac{3}{2})^{x}=1;x=0. \end{equation}