вправа 3.12 гдз 11 клас математика Мерзляк Номіровський 2019
Вправа 3.12
Умова:
Умова:
Розв'яжіть нерівність:
ГДЗ:
\begin{equation} 1)3^{2x}-4*3^{x}-45 > 0. \end{equation} Нехай 3x = t, тоді \begin{equation} t^{2}-4t-45 > 0; \end{equation} \begin{equation} (t-9)(t+5) > 0; \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} t < - 5, \\ t > 9. \end{bmatrix} \end{equation} Звідси \begin{equation} 3^{x} < -5 \end{equation} або \begin{equation} 3^{x} > 9. \end{equation} Перша нерівність розв'язків
немає, з другої \begin{equation} 3^{x} > 3^{2}; \end{equation} \begin{equation} x > 2. \end{equation} Відповідь: (2; +∞). \begin{equation} 2)4^{x}+2^{x+4}-20 < 0; \end{equation} \begin{equation} 2^{2x}+8*2^{x}-20=0. \end{equation} Нехай 2x = t, тоді \begin{equation} t^{2}+8t-20=0; \end{equation} \begin{equation} (t+10)(t-2) < 0; \end{equation} \begin{equation} -10 < t < 2 \end{equation} звідки \begin{equation} -10 < 2^{x} < 2. \end{equation} Оскільки 2x > 0, то \begin{equation} 2^{x} > -10 \end{equation} при всіх х.
Тому достатньо розв'язати нерівність \begin{equation} 2^{x} < 2 \end{equation} звідси \begin{equation} x < 1 \end{equation} Відповідь: (-∞; 1) \begin{equation} 3)49^{x}-8*7^{x}+7\leq 0; \end{equation} \begin{equation} 7^{2x}-8*7+7\leq 0. \end{equation} Нехай \begin{equation} 7^{x}=t \end{equation} тоді \begin{equation} t^{2}-8t+7\leq 0; \end{equation} \begin{equation} (t-7)(t-1)\leq 0; \end{equation} \begin{equation} 1\leq t\leq 7; \end{equation} \begin{equation} 1\leq 7^{x}\leq7; \end{equation} \begin{equation} 7^{0}\leq 7^{x}\leq 7^{1}; \end{equation} \begin{equation} 0\leq x \leq 1. \end{equation} Відповідь: [0; 1]. \begin{equation} 4)0,25^{x}-12*0,5^{x}+32 \geq 0; \end{equation} \begin{equation} 0,5^{2x}-12*0,5^{x}+32 \geq 0. \end{equation} Нехай 0,5x = t, тоді \begin{equation} t^{2}-12t+32\geq 0; \end{equation} \begin{equation} (t-8)(t-4)\geq 0; \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} t\leq 4, \\ t\geq 8; \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0,5^{x}\leq 4, \\ 0,5^{x}\geq 8; \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} 0,5^{x}\leq 0,5^{-2}, \\ 0,5^{x}\geq 0,5^{-3}; \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \geq -2, \\ x \geq -3. \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: (0; -3] U [-2; +∞). \begin{equation} 5)6^{2x-1}-\frac{1}{3}*6^{x}-4\leq 0; \end{equation} \begin{equation} \frac{6^{2x}}{6}-\frac{6^{x}}{3}-4\leq 0; \end{equation} \begin{equation} 6^{2x}-2*6^{x}-24\leq 0. \end{equation} Нехай \begin{equation} 6^{x}=t \end{equation} тоді \begin{equation} t^{2}-2t-24\leq 0; \end{equation} \begin{equation} (t-6)(t+4)\leq 0; \end{equation} \begin{equation} -4\leq t\leq 6; \end{equation} \begin{equation} -4\leq 6^{x}\leq 6. \end{equation} Оскільки 6x > 0, то \begin{equation} 6^{x} > -4 \end{equation} при всіх х.
Тому достатньо розв'язати нерівність \begin{equation} 6^{x} < 6; \end{equation} \begin{equation} x\leq 1. \end{equation} Відповідь: (-∞; 1] \begin{equation} 6)25^{x}+5^{x}-30\geq 0; \end{equation} \begin{equation} 5^{2x}+5^{x}-30\geq 0. \end{equation} Нехай 5x = t, тоді \begin{equation} t^{2}-t-30 \geq 0; \end{equation} \begin{equation} (t-5)(t+6)\geq 0; \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} t\geq 5, \\ t\leq - 6; \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5^{x}\geq 5, \\ 5^{x}\leq - 6. \end{bmatrix} \end{equation} Оскільки 5x > 0, то \begin{equation} 5^{x} > -6 \end{equation} для всіх х, тому достатньо
розв'язати нерівність \begin{equation} 5^{x}\geq 5^{1}; \end{equation} \begin{equation} x \geq 1. \end{equation} Відповідь: [1; +∞).
\begin{equation} 1)3^{2x}-4*3^{x}-45 > 0. \end{equation} Нехай 3x = t, тоді \begin{equation} t^{2}-4t-45 > 0; \end{equation} \begin{equation} (t-9)(t+5) > 0; \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} t < - 5, \\ t > 9. \end{bmatrix} \end{equation} Звідси \begin{equation} 3^{x} < -5 \end{equation} або \begin{equation} 3^{x} > 9. \end{equation} Перша нерівність розв'язків
немає, з другої \begin{equation} 3^{x} > 3^{2}; \end{equation} \begin{equation} x > 2. \end{equation} Відповідь: (2; +∞). \begin{equation} 2)4^{x}+2^{x+4}-20 < 0; \end{equation} \begin{equation} 2^{2x}+8*2^{x}-20=0. \end{equation} Нехай 2x = t, тоді \begin{equation} t^{2}+8t-20=0; \end{equation} \begin{equation} (t+10)(t-2) < 0; \end{equation} \begin{equation} -10 < t < 2 \end{equation} звідки \begin{equation} -10 < 2^{x} < 2. \end{equation} Оскільки 2x > 0, то \begin{equation} 2^{x} > -10 \end{equation} при всіх х.
Тому достатньо розв'язати нерівність \begin{equation} 2^{x} < 2 \end{equation} звідси \begin{equation} x < 1 \end{equation} Відповідь: (-∞; 1) \begin{equation} 3)49^{x}-8*7^{x}+7\leq 0; \end{equation} \begin{equation} 7^{2x}-8*7+7\leq 0. \end{equation} Нехай \begin{equation} 7^{x}=t \end{equation} тоді \begin{equation} t^{2}-8t+7\leq 0; \end{equation} \begin{equation} (t-7)(t-1)\leq 0; \end{equation} \begin{equation} 1\leq t\leq 7; \end{equation} \begin{equation} 1\leq 7^{x}\leq7; \end{equation} \begin{equation} 7^{0}\leq 7^{x}\leq 7^{1}; \end{equation} \begin{equation} 0\leq x \leq 1. \end{equation} Відповідь: [0; 1]. \begin{equation} 4)0,25^{x}-12*0,5^{x}+32 \geq 0; \end{equation} \begin{equation} 0,5^{2x}-12*0,5^{x}+32 \geq 0. \end{equation} Нехай 0,5x = t, тоді \begin{equation} t^{2}-12t+32\geq 0; \end{equation} \begin{equation} (t-8)(t-4)\geq 0; \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} t\leq 4, \\ t\geq 8; \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0,5^{x}\leq 4, \\ 0,5^{x}\geq 8; \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} 0,5^{x}\leq 0,5^{-2}, \\ 0,5^{x}\geq 0,5^{-3}; \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \geq -2, \\ x \geq -3. \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: (0; -3] U [-2; +∞). \begin{equation} 5)6^{2x-1}-\frac{1}{3}*6^{x}-4\leq 0; \end{equation} \begin{equation} \frac{6^{2x}}{6}-\frac{6^{x}}{3}-4\leq 0; \end{equation} \begin{equation} 6^{2x}-2*6^{x}-24\leq 0. \end{equation} Нехай \begin{equation} 6^{x}=t \end{equation} тоді \begin{equation} t^{2}-2t-24\leq 0; \end{equation} \begin{equation} (t-6)(t+4)\leq 0; \end{equation} \begin{equation} -4\leq t\leq 6; \end{equation} \begin{equation} -4\leq 6^{x}\leq 6. \end{equation} Оскільки 6x > 0, то \begin{equation} 6^{x} > -4 \end{equation} при всіх х.
Тому достатньо розв'язати нерівність \begin{equation} 6^{x} < 6; \end{equation} \begin{equation} x\leq 1. \end{equation} Відповідь: (-∞; 1] \begin{equation} 6)25^{x}+5^{x}-30\geq 0; \end{equation} \begin{equation} 5^{2x}+5^{x}-30\geq 0. \end{equation} Нехай 5x = t, тоді \begin{equation} t^{2}-t-30 \geq 0; \end{equation} \begin{equation} (t-5)(t+6)\geq 0; \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} t\geq 5, \\ t\leq - 6; \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5^{x}\geq 5, \\ 5^{x}\leq - 6. \end{bmatrix} \end{equation} Оскільки 5x > 0, то \begin{equation} 5^{x} > -6 \end{equation} для всіх х, тому достатньо
розв'язати нерівність \begin{equation} 5^{x}\geq 5^{1}; \end{equation} \begin{equation} x \geq 1. \end{equation} Відповідь: [1; +∞).