вправа 3.13 гдз 11 клас математика Мерзляк Номіровський 2019
Вправа 3.13
Умова:
Умова:
Розв'яжіть нерівність:
ГДЗ:
\begin{equation} 1)9^{x+1}-2*3^{x}-7 \leq 0; \end{equation} \begin{equation} 9*3^{2x}-2*3^{x}-7\leq 0. \end{equation} Нехай 3x = t, тоді \begin{equation} 9t^{2}-2t-7\leq 0. \end{equation} Розв'яжемо цю нерівність \begin{equation} 9t^{2}-2t-7=0; \end{equation} \begin{equation} D=4+4*9*7=256=16^{2}; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{2+16}{18}=1; \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{2-16}{18}=-\frac{7}{9}. \end{equation} Отже \begin{equation} -\frac{7}{9} \leq t \leq 1 \end{equation} \begin{equation} - \frac{7}{9} \leq 3^{x} \leq 1. \end{equation} Оскільки 3x > 0, то \begin{equation} 3^{x} > - \frac{7}{9} \end{equation} при всіх х.
Достатньо розв'язати нерівність \begin{equation} 3^{x} \leq 1; \end{equation} \begin{equation} 3^{x}\leq 3^{0}; \end{equation} \begin{equation} x \leq 0. \end{equation} Відповідь: (-∞; 0] \begin{equation} 2) 2^{x}+2^{\frac{2}{x}}-72 \geq 0 \end{equation} Нехай \begin{equation} 2^{\frac{x}{2}}=t \end{equation} тоді \begin{equation} t^{2}+t-72\geq 0; \end{equation} \begin{equation} (t+9)(t-8)\geq 0; \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} t\leq -9, \\ t\geq 8; \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2^{\frac{x}{2}}\leq -9, \\ 2^{\frac{x}{2}}\geq 8. \end{bmatrix} \end{equation} Оскільки \begin{equation} 2^{\frac{x}{2}} > 0 \end{equation} то \begin{equation} 2^{\frac{x}{2}} > -9 \end{equation} при всіх х, тобто перша
нерівність розв'язків не має. \begin{equation} 2^{\frac{x}{2}}\geq 8; \end{equation} \begin{equation} 2^{\frac{x}{2}}\geq 2^{3}; \end{equation} \begin{equation} \frac{x}{2}\geq 3; \end{equation} \begin{equation} x\geq 6. \end{equation} Відповідь: [6; +∞) \begin{equation} 3)(\frac{1}{4})^{x}-3*(\frac{1}{2})^{x}+2 > 0. \end{equation} Нехай \begin{equation} (\frac{1}{2})^{x}=t, \end{equation} то \begin{equation} t^{2}-3t+2\geq 0; \end{equation} \begin{equation} (t-2)(t-1) > 0; \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} t < 1, \\ t > 2; \end{bmatrix} \begin{bmatrix} ( \frac{1}{2} )^{x} < 1, \\ (\frac{1}{2})^{x} > 2; \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left (\frac{1}{2} \right )^{x} < \left ( \frac{1}{2} \right )^{0}, \\ (\frac{1}{2})^{x} < (\frac{1}{2})^{1}; \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x > 0 \\ x < -1. \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: (-∞; -1) U (0; +∞). \begin{equation} 4)25^{x}-26*5^{x}+25 \leq 0; \end{equation} \begin{equation} 5^{2x}-26*5^{x}+25\leq 0. \end{equation} Нехай \begin{equation} 5^{x}=t \end{equation} тоді \begin{equation} t^{2}-26t+25\leq 0; \end{equation} \begin{equation} (t-1)(t-25) \leq 0 \end{equation} \begin{equation} 1 \leq t \leq 25; 1 \leq \end{equation} \begin{equation} 5^{x} \leq 25; 5^{0} \leq 5^{x} \leq 5^{2}; \end{equation} \begin{equation} 0 \leq x \leq 2. \end{equation} Відповідь: [0; 2]
\begin{equation} 1)9^{x+1}-2*3^{x}-7 \leq 0; \end{equation} \begin{equation} 9*3^{2x}-2*3^{x}-7\leq 0. \end{equation} Нехай 3x = t, тоді \begin{equation} 9t^{2}-2t-7\leq 0. \end{equation} Розв'яжемо цю нерівність \begin{equation} 9t^{2}-2t-7=0; \end{equation} \begin{equation} D=4+4*9*7=256=16^{2}; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{2+16}{18}=1; \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{2-16}{18}=-\frac{7}{9}. \end{equation} Отже \begin{equation} -\frac{7}{9} \leq t \leq 1 \end{equation} \begin{equation} - \frac{7}{9} \leq 3^{x} \leq 1. \end{equation} Оскільки 3x > 0, то \begin{equation} 3^{x} > - \frac{7}{9} \end{equation} при всіх х.
Достатньо розв'язати нерівність \begin{equation} 3^{x} \leq 1; \end{equation} \begin{equation} 3^{x}\leq 3^{0}; \end{equation} \begin{equation} x \leq 0. \end{equation} Відповідь: (-∞; 0] \begin{equation} 2) 2^{x}+2^{\frac{2}{x}}-72 \geq 0 \end{equation} Нехай \begin{equation} 2^{\frac{x}{2}}=t \end{equation} тоді \begin{equation} t^{2}+t-72\geq 0; \end{equation} \begin{equation} (t+9)(t-8)\geq 0; \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} t\leq -9, \\ t\geq 8; \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2^{\frac{x}{2}}\leq -9, \\ 2^{\frac{x}{2}}\geq 8. \end{bmatrix} \end{equation} Оскільки \begin{equation} 2^{\frac{x}{2}} > 0 \end{equation} то \begin{equation} 2^{\frac{x}{2}} > -9 \end{equation} при всіх х, тобто перша
нерівність розв'язків не має. \begin{equation} 2^{\frac{x}{2}}\geq 8; \end{equation} \begin{equation} 2^{\frac{x}{2}}\geq 2^{3}; \end{equation} \begin{equation} \frac{x}{2}\geq 3; \end{equation} \begin{equation} x\geq 6. \end{equation} Відповідь: [6; +∞) \begin{equation} 3)(\frac{1}{4})^{x}-3*(\frac{1}{2})^{x}+2 > 0. \end{equation} Нехай \begin{equation} (\frac{1}{2})^{x}=t, \end{equation} то \begin{equation} t^{2}-3t+2\geq 0; \end{equation} \begin{equation} (t-2)(t-1) > 0; \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} t < 1, \\ t > 2; \end{bmatrix} \begin{bmatrix} ( \frac{1}{2} )^{x} < 1, \\ (\frac{1}{2})^{x} > 2; \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left (\frac{1}{2} \right )^{x} < \left ( \frac{1}{2} \right )^{0}, \\ (\frac{1}{2})^{x} < (\frac{1}{2})^{1}; \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x > 0 \\ x < -1. \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: (-∞; -1) U (0; +∞). \begin{equation} 4)25^{x}-26*5^{x}+25 \leq 0; \end{equation} \begin{equation} 5^{2x}-26*5^{x}+25\leq 0. \end{equation} Нехай \begin{equation} 5^{x}=t \end{equation} тоді \begin{equation} t^{2}-26t+25\leq 0; \end{equation} \begin{equation} (t-1)(t-25) \leq 0 \end{equation} \begin{equation} 1 \leq t \leq 25; 1 \leq \end{equation} \begin{equation} 5^{x} \leq 25; 5^{0} \leq 5^{x} \leq 5^{2}; \end{equation} \begin{equation} 0 \leq x \leq 2. \end{equation} Відповідь: [0; 2]