вправа 3.15 гдз 11 клас математика Мерзляк Номіровський 2019
Вправа 3.15
Умова:
Умова:
Знайдіть множину розв'язків нерівності:
ГДЗ:
\begin{equation} 1)3^{x}-9*3^{-x}-8 > 0; \end{equation} \begin{equation} 3^{x}-\frac{9}{3^{x}}-8 > 0; \end{equation} \begin{equation} 3^{2x}-8*3^{x}-9 > 0. \end{equation} Нехай 3x = t, тоді \begin{equation} t^{2}-8t-9 > 0; \end{equation} \begin{equation} (t-9)(t+1) > 0. \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} t < -1, \\ t > 9; \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} 3^{x} < -1 \\ 3^{x} > 9, x > 2. \end{bmatrix} \end{equation} розв'язків немає,
Відповідь: (2; +∞) \begin{equation} 2)2^{x+3}+2^{1-x} < 17; \end{equation} \begin{equation} 4*2^{x}+\frac{2}{2^{x}}-17 < 0; \end{equation} \begin{equation} 8*2^{2x}-17*2^{x}+2 < 0. \end{equation} Нехай 2x = t, тоді \begin{equation} 8t^{2}-17t+2 < 0; \end{equation} \begin{equation} 8t^{2}-17t+2=0; \end{equation} \begin{equation} D=17^{2}-4*8*2= \end{equation} \begin{equation} =289-64=225=15^{2}. \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{17+15}{16}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{32}{16}=2; \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{17-15}{16}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{2}{16}=\frac{1}{8}. \end{equation} Отже \begin{equation} \frac{1}{8} < t < 2; \end{equation} \begin{equation} 2^{-3} < 2^{x} < 2^{1}; \end{equation} \begin{equation} -3 < x < 1. \end{equation} Відповідь: (-3; 1) \begin{equation} 3)6^{x+2}+6^{-x}-37\geq 0; \end{equation} \begin{equation} 6^{2}*6^{x}+\frac{1}{6^{x}}-37\geq 0; \end{equation} \begin{equation} 36*6^{2x}-37*6^{x}+1\geq 0. \end{equation} Нехай 6x = t, тоді \begin{equation} 36t^{2}-37t+1\geq 0 \end{equation} \begin{equation} 36t^{2}-37t+1=0; \end{equation} \begin{equation} D=37^{2}-4*36= \end{equation} \begin{equation} =1369-144=1225; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{37-35}{2*36}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{2}{72}=\frac{1}{36}; \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{37+35}{2*36}=1. \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} t < \frac{1}{36}, \\ t > 1; \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} 6^{x} < 6^{-2}, \\ 6^{x} > 6^{0}; \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} 6 < 2, & \\ x > 0. & \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: (-∞; -2) U (0; +∞). \begin{equation} 4)(\frac{3}{5})^{x+1}+(\frac{3}{5})^{1-x}\leq \frac{6}{5}; \end{equation} \begin{equation} \frac{3}{5}*(\frac{3}{5})^{x}+\frac{\frac{3}{5}}{(\frac{3}{5})^{x}}-\frac{6}{5}\leq 0; \end{equation} \begin{equation} \frac{3}{5}-(\frac{3}{5})^{2x}-\frac{6}{5}-(\frac{3}{5})^{x}+\frac{3}{5}\leq 0; \end{equation} \begin{equation} 3*(\frac{3}{5})^{2x}-6*(\frac{3}{5})^{x}+3\leq 0. \end{equation} Нехай \begin{equation} (\frac{3}{5})^{x}=t \end{equation} тоді \begin{equation} 3t^{2}-6t+3\leq 0; \end{equation} \begin{equation} t^{2}-2t+1\leq 0; \end{equation} \begin{equation} (t-1)^{2}\leq 0;t=1; \end{equation} \begin{equation} (\frac{3}{5})^{x}=1, \end{equation} \begin{equation} x=0. \end{equation} Відповідь: {0}.
\begin{equation} 1)3^{x}-9*3^{-x}-8 > 0; \end{equation} \begin{equation} 3^{x}-\frac{9}{3^{x}}-8 > 0; \end{equation} \begin{equation} 3^{2x}-8*3^{x}-9 > 0. \end{equation} Нехай 3x = t, тоді \begin{equation} t^{2}-8t-9 > 0; \end{equation} \begin{equation} (t-9)(t+1) > 0. \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} t < -1, \\ t > 9; \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} 3^{x} < -1 \\ 3^{x} > 9, x > 2. \end{bmatrix} \end{equation} розв'язків немає,
Відповідь: (2; +∞) \begin{equation} 2)2^{x+3}+2^{1-x} < 17; \end{equation} \begin{equation} 4*2^{x}+\frac{2}{2^{x}}-17 < 0; \end{equation} \begin{equation} 8*2^{2x}-17*2^{x}+2 < 0. \end{equation} Нехай 2x = t, тоді \begin{equation} 8t^{2}-17t+2 < 0; \end{equation} \begin{equation} 8t^{2}-17t+2=0; \end{equation} \begin{equation} D=17^{2}-4*8*2= \end{equation} \begin{equation} =289-64=225=15^{2}. \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{17+15}{16}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{32}{16}=2; \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{17-15}{16}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{2}{16}=\frac{1}{8}. \end{equation} Отже \begin{equation} \frac{1}{8} < t < 2; \end{equation} \begin{equation} 2^{-3} < 2^{x} < 2^{1}; \end{equation} \begin{equation} -3 < x < 1. \end{equation} Відповідь: (-3; 1) \begin{equation} 3)6^{x+2}+6^{-x}-37\geq 0; \end{equation} \begin{equation} 6^{2}*6^{x}+\frac{1}{6^{x}}-37\geq 0; \end{equation} \begin{equation} 36*6^{2x}-37*6^{x}+1\geq 0. \end{equation} Нехай 6x = t, тоді \begin{equation} 36t^{2}-37t+1\geq 0 \end{equation} \begin{equation} 36t^{2}-37t+1=0; \end{equation} \begin{equation} D=37^{2}-4*36= \end{equation} \begin{equation} =1369-144=1225; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{37-35}{2*36}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{2}{72}=\frac{1}{36}; \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{37+35}{2*36}=1. \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} t < \frac{1}{36}, \\ t > 1; \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} 6^{x} < 6^{-2}, \\ 6^{x} > 6^{0}; \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} 6 < 2, & \\ x > 0. & \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: (-∞; -2) U (0; +∞). \begin{equation} 4)(\frac{3}{5})^{x+1}+(\frac{3}{5})^{1-x}\leq \frac{6}{5}; \end{equation} \begin{equation} \frac{3}{5}*(\frac{3}{5})^{x}+\frac{\frac{3}{5}}{(\frac{3}{5})^{x}}-\frac{6}{5}\leq 0; \end{equation} \begin{equation} \frac{3}{5}-(\frac{3}{5})^{2x}-\frac{6}{5}-(\frac{3}{5})^{x}+\frac{3}{5}\leq 0; \end{equation} \begin{equation} 3*(\frac{3}{5})^{2x}-6*(\frac{3}{5})^{x}+3\leq 0. \end{equation} Нехай \begin{equation} (\frac{3}{5})^{x}=t \end{equation} тоді \begin{equation} 3t^{2}-6t+3\leq 0; \end{equation} \begin{equation} t^{2}-2t+1\leq 0; \end{equation} \begin{equation} (t-1)^{2}\leq 0;t=1; \end{equation} \begin{equation} (\frac{3}{5})^{x}=1, \end{equation} \begin{equation} x=0. \end{equation} Відповідь: {0}.