вправа 3.16 гдз 11 клас математика Мерзляк Номіровський 2019

 
Вправа 3.16


Умова:
 
 
Знайдіть множину розв'язків нерівності:


ГДЗ:

\begin{equation} 1)3^{x+1}-2*3^{1-x} > 7; \end{equation} \begin{equation} 3*3^{x}-\frac{2*3}{3^{x}}-7 > 0; \end{equation} \begin{equation} 3*3^{2x}-7*3^{x}-6 > 0. \end{equation} Нехай 3x = t, тоді \begin{equation} 3t^{2}-7t-6 > 0 \end{equation} \begin{equation} 3t^{2}-7t-6=0; \end{equation} \begin{equation} D=49+4*3*6= \end{equation} \begin{equation} =49+72=121 \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{7+11}{6}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{18}{6}=3; \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{7-11}{6}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{4}{6}=-\frac{2}{3}. \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} t < -\frac{2}{3},\\ t > 3; \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} 3^{x} < -\frac{2}{3}, \\ 3^{x} > 3 \end{bmatrix} \end{equation} Оскільки 3x > 0 при всіх х,
то перша нерівність розв'язків не має. \begin{equation} 3^{x} > 3^{1}; \end{equation} \begin{equation} x > 1. \end{equation} Відповідь: (1; +∞). \begin{equation} 2) 4^{1-x}-0,5^{1-2x}\geq 1; \end{equation} \begin{equation} 2^{2-2x}-2^{2x-1}-1\geq 0; \end{equation} \begin{equation} \frac{4}{2^{2x}}-\frac{2^{2x}}{2}-1\geq 0; \end{equation} \begin{equation} 8-2^{4x}-2*2^{2x}\geq 0; \end{equation} \begin{equation} 2^{4x}+2*2^{2x}-8\leq 0. \end{equation} Нехай 22x=t, тоді \begin{equation} t^{2}+2t-8\leq 0; \end{equation} \begin{equation} -4\leq t \leq 2; \end{equation} \begin{equation} -4\leq 2^{3x}\leq 2. \end{equation} Оскільки \begin{equation} 2^{3x} > 0 \end{equation} при всіх х, то \begin{equation} 2^{2x} > - 4. 2^{2x} \leq 2; \end{equation} \begin{equation} 2x \leq 1; x \leq \frac{1}{2}. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} (-\infty; \frac{1}{2}]. \end{equation}