вправа 3.19 гдз 11 клас математика Мерзляк Номіровський 2019
Вправа 3.19
Умова:
Умова:
Розв'яжіть нерівність:
ГДЗ:
\begin{equation} 1)3*4^{x}+2*9^{x}-5*6^{x} < 0; \end{equation} \begin{equation} 3*2^{2x}-5*2^{x}*3^{x}+2*3^{2x} < 0. \end{equation} Оскільки 32x > 0 при будь
якому х, то поділивши обидві частини
нерівності на 32x отримаємо \begin{equation} 3*(\frac{2}{3})^{2x}-5*(\frac{2}{3})^{x}+2 < 0 \end{equation} Нехай \begin{equation} (\frac{2}{3})^{x}=t \end{equation} тоді \begin{equation} 3t^{2}-5t+2 < 0 \end{equation} Розв'яжемо цю нерівність: \begin{equation} 3t^{2}-5t+2=0; \end{equation} \begin{equation} D=25-4*3*2= \end{equation} \begin{equation} =25-24=1 \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{5+1}{6}=1; \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{5-1}{6}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{4}{6}=\frac{2}{3}. \end{equation} Отже \begin{equation} \frac{2}{3} < t < 1; \end{equation} \begin{equation} (\frac{2}{3})^{0} < (\frac{2}{3})^{x} < (\frac{2}{3})^{1}*0 < x < 1 \end{equation} Відповідь: (0; 1). \begin{equation} 2)5*25^{\frac{1}{x}}+3*10^{\frac{1}{x}} \geq 2*4^{\frac{1}{x}}; \end{equation} \begin{equation} 5*5^{\frac{2}{x}}+3*2^{\frac{1}{x}}*5^{\frac{1}{x}}-2*2^{\frac{2}{x}} \geq 0; \end{equation} \begin{equation} 5*(\frac{5}{2})^{\frac{2}{x}}+3*(\frac{5}{2})^{\frac{1}{x}}-2 \geq 0 \end{equation} Нехай \begin{equation} (\frac{5}{2})^{\frac{1}{x}}=t \end{equation} тоді \begin{equation} 5t^{2}+3t-2 \geq 0 \end{equation} \begin{equation} 5t^{2}+3t-2=0; \end{equation} \begin{equation} D=3^{2}+4*5*2= \end{equation} \begin{equation} =9+40=49; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{-3+7}{10}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{4}{10}=\frac{2}{5}; \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{-3-7}{10}=-1 \end{equation} Отже \begin{equation} \begin{bmatrix} t > \frac{2}{5}, \\ t < - 1; \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} (\frac{5}{2})^{\frac{1}{x}} > \frac{2}{5}, \\ (\frac{5}{2})^{\frac{1}{x}} < -1 \end{bmatrix} \end{equation} - не має розв'язків. \begin{equation} (\frac{5}{2})^{\frac{1}{x}} > (\frac{5}{2})^{-1}; \end{equation} \begin{equation} \frac{1}{x} > -1; \end{equation} \begin{equation} \frac{1}{x}+1 > 0; \end{equation} \begin{equation} \frac{1+x}{x} > 0. \end{equation} Відповідь: (-∞; -1) U (0; +∞)
\begin{equation} 1)3*4^{x}+2*9^{x}-5*6^{x} < 0; \end{equation} \begin{equation} 3*2^{2x}-5*2^{x}*3^{x}+2*3^{2x} < 0. \end{equation} Оскільки 32x > 0 при будь
якому х, то поділивши обидві частини
нерівності на 32x отримаємо \begin{equation} 3*(\frac{2}{3})^{2x}-5*(\frac{2}{3})^{x}+2 < 0 \end{equation} Нехай \begin{equation} (\frac{2}{3})^{x}=t \end{equation} тоді \begin{equation} 3t^{2}-5t+2 < 0 \end{equation} Розв'яжемо цю нерівність: \begin{equation} 3t^{2}-5t+2=0; \end{equation} \begin{equation} D=25-4*3*2= \end{equation} \begin{equation} =25-24=1 \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{5+1}{6}=1; \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{5-1}{6}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{4}{6}=\frac{2}{3}. \end{equation} Отже \begin{equation} \frac{2}{3} < t < 1; \end{equation} \begin{equation} (\frac{2}{3})^{0} < (\frac{2}{3})^{x} < (\frac{2}{3})^{1}*0 < x < 1 \end{equation} Відповідь: (0; 1). \begin{equation} 2)5*25^{\frac{1}{x}}+3*10^{\frac{1}{x}} \geq 2*4^{\frac{1}{x}}; \end{equation} \begin{equation} 5*5^{\frac{2}{x}}+3*2^{\frac{1}{x}}*5^{\frac{1}{x}}-2*2^{\frac{2}{x}} \geq 0; \end{equation} \begin{equation} 5*(\frac{5}{2})^{\frac{2}{x}}+3*(\frac{5}{2})^{\frac{1}{x}}-2 \geq 0 \end{equation} Нехай \begin{equation} (\frac{5}{2})^{\frac{1}{x}}=t \end{equation} тоді \begin{equation} 5t^{2}+3t-2 \geq 0 \end{equation} \begin{equation} 5t^{2}+3t-2=0; \end{equation} \begin{equation} D=3^{2}+4*5*2= \end{equation} \begin{equation} =9+40=49; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{-3+7}{10}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{4}{10}=\frac{2}{5}; \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{-3-7}{10}=-1 \end{equation} Отже \begin{equation} \begin{bmatrix} t > \frac{2}{5}, \\ t < - 1; \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} (\frac{5}{2})^{\frac{1}{x}} > \frac{2}{5}, \\ (\frac{5}{2})^{\frac{1}{x}} < -1 \end{bmatrix} \end{equation} - не має розв'язків. \begin{equation} (\frac{5}{2})^{\frac{1}{x}} > (\frac{5}{2})^{-1}; \end{equation} \begin{equation} \frac{1}{x} > -1; \end{equation} \begin{equation} \frac{1}{x}+1 > 0; \end{equation} \begin{equation} \frac{1+x}{x} > 0. \end{equation} Відповідь: (-∞; -1) U (0; +∞)