вправа 3.20 гдз 11 клас математика Мерзляк Номіровський 2019
Вправа 3.20
Умова:
Умова:
Розв'яжіть нерівність:
ГДЗ:
\begin{equation} 1)3*16^{x}+2*81^{x}-5*36^{x} < 0; \end{equation} \begin{equation} 3*4^{2x}+2*9^{2x}-5*4^{x}*9^{x} < 0; \end{equation} \begin{equation} 3*\frac{4^{2x}}{9^{2x}}-5*\frac{4^{x}*9^{x}}{9^{2x}}+2*\frac{9^{2x}}{9^{2x}} < 0; \end{equation} \begin{equation} 3*(\frac{4}{9})^{2x}-5*(\frac{4}{9})^{x}+2 < 0. \end{equation} Нехай \begin{equation} (\frac{4}{9})^{x}=t \end{equation} тоді \begin{equation} 3t^{2}-5t+2 < 0; \end{equation} \begin{equation} 3t^{2}-5t+2=0; \end{equation} \begin{equation} D=25-4*3*2= \end{equation} \begin{equation} =25-24=1; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{5+1}{6}=1; \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{5-1}{6}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{4}{6}=\frac{2}{3}. \end{equation} Маємо: \begin{equation} 3(t-1)(t-\frac{2}{3}) < 0; \end{equation} \begin{equation} \frac{2}{3} < t < 1; \end{equation} \begin{equation} \frac{2}{3} < (\frac{4}{9})^{x} < 1; \end{equation} \begin{equation} (\frac{4}{9})^{0} < (\frac{4}{9})^{x} < (\frac{4}{9})^{\frac{1}{2}}; \end{equation} \begin{equation} 0 < x < \frac{1}{2}. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} (0;\frac{1}{2}) \end{equation} \begin{equation} 2)2*49^{\frac{1}{x}}-9*14^{\frac{1}{x}}+7*4^{\frac{1}{4}} \leq 0; \end{equation} \begin{equation} 2*7^{\frac{2}{x}}-9*2^{\frac{1}{x}}*7^{\frac{1}{x}}+7*2^{\frac{2}{x}} \geq 0 \end{equation} \begin{equation} 2*\frac{7^{\frac{2}{x}}}{2^{\frac{2}{x}}}-9*\frac{2^{\frac{1}{x}}*7^{\frac{1}{x}}}{2^{\frac{2}{x}}}+7*\frac{2^{\frac{2}{x}}}{2^{\frac{2}{x}}} \geq 0; \end{equation} \begin{equation} 2*(\frac{7}{2})^{2x}-9*(\frac{7}{2})^{\frac{1}{x}}+7 \geq 0 \end{equation} Нехай \begin{equation} (\frac{7}{2})^{\frac{1}{x}}=t \end{equation} тоді \begin{equation} 2t^{2}-9t+7 \geq 0 \end{equation} \begin{equation} 2t^{2}-9t+7=0; \end{equation} \begin{equation} D=81-4*2*7= \end{equation} \begin{equation} =81-56=25; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{9+5}{4}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{14}{4}=\frac{7}{2}; \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{9-5}{4}=1 \end{equation} Маємо: \begin{equation} 2(t-\frac{7}{2})(t-1) \geq 0 \end{equation} звідки \begin{equation} \begin{bmatrix} t \leq 1 \\ t \leq \frac{7}{2}; \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} (\frac{7}{2})^{\frac{1}{x}} \leq 1, \\ (\frac{7}{2})^{\frac{1}{x}} \geq \frac{7}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} (\frac{7}{2})^{\frac{1}{x}} \leq (\frac{7}{2})^{0}, \\ (\frac{7}{2})^{\frac{1}{x}} \geq (\frac{7}{2})^{1}; \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \frac{1}{x} \leq 0, \\ \frac{1}{x} \geq 1; \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x < 0, \\ \frac{1-x}{x} \geq 0. \end{bmatrix} \end{equation} Розв'яжемо другу нерівність сукупності: \begin{equation} \frac{1-x}{x} > 0. \end{equation} \begin{equation} 0 < x < 1. \end{equation} Об'єднуючи розв'язки обох нерівностей, маємо \begin{equation} \begin{bmatrix} x < 0, \\ 0 < x < 1. \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: (-∞; 0) U (0; +∞).
\begin{equation} 1)3*16^{x}+2*81^{x}-5*36^{x} < 0; \end{equation} \begin{equation} 3*4^{2x}+2*9^{2x}-5*4^{x}*9^{x} < 0; \end{equation} \begin{equation} 3*\frac{4^{2x}}{9^{2x}}-5*\frac{4^{x}*9^{x}}{9^{2x}}+2*\frac{9^{2x}}{9^{2x}} < 0; \end{equation} \begin{equation} 3*(\frac{4}{9})^{2x}-5*(\frac{4}{9})^{x}+2 < 0. \end{equation} Нехай \begin{equation} (\frac{4}{9})^{x}=t \end{equation} тоді \begin{equation} 3t^{2}-5t+2 < 0; \end{equation} \begin{equation} 3t^{2}-5t+2=0; \end{equation} \begin{equation} D=25-4*3*2= \end{equation} \begin{equation} =25-24=1; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{5+1}{6}=1; \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{5-1}{6}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{4}{6}=\frac{2}{3}. \end{equation} Маємо: \begin{equation} 3(t-1)(t-\frac{2}{3}) < 0; \end{equation} \begin{equation} \frac{2}{3} < t < 1; \end{equation} \begin{equation} \frac{2}{3} < (\frac{4}{9})^{x} < 1; \end{equation} \begin{equation} (\frac{4}{9})^{0} < (\frac{4}{9})^{x} < (\frac{4}{9})^{\frac{1}{2}}; \end{equation} \begin{equation} 0 < x < \frac{1}{2}. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} (0;\frac{1}{2}) \end{equation} \begin{equation} 2)2*49^{\frac{1}{x}}-9*14^{\frac{1}{x}}+7*4^{\frac{1}{4}} \leq 0; \end{equation} \begin{equation} 2*7^{\frac{2}{x}}-9*2^{\frac{1}{x}}*7^{\frac{1}{x}}+7*2^{\frac{2}{x}} \geq 0 \end{equation} \begin{equation} 2*\frac{7^{\frac{2}{x}}}{2^{\frac{2}{x}}}-9*\frac{2^{\frac{1}{x}}*7^{\frac{1}{x}}}{2^{\frac{2}{x}}}+7*\frac{2^{\frac{2}{x}}}{2^{\frac{2}{x}}} \geq 0; \end{equation} \begin{equation} 2*(\frac{7}{2})^{2x}-9*(\frac{7}{2})^{\frac{1}{x}}+7 \geq 0 \end{equation} Нехай \begin{equation} (\frac{7}{2})^{\frac{1}{x}}=t \end{equation} тоді \begin{equation} 2t^{2}-9t+7 \geq 0 \end{equation} \begin{equation} 2t^{2}-9t+7=0; \end{equation} \begin{equation} D=81-4*2*7= \end{equation} \begin{equation} =81-56=25; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{9+5}{4}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{14}{4}=\frac{7}{2}; \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{9-5}{4}=1 \end{equation} Маємо: \begin{equation} 2(t-\frac{7}{2})(t-1) \geq 0 \end{equation} звідки \begin{equation} \begin{bmatrix} t \leq 1 \\ t \leq \frac{7}{2}; \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} (\frac{7}{2})^{\frac{1}{x}} \leq 1, \\ (\frac{7}{2})^{\frac{1}{x}} \geq \frac{7}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} (\frac{7}{2})^{\frac{1}{x}} \leq (\frac{7}{2})^{0}, \\ (\frac{7}{2})^{\frac{1}{x}} \geq (\frac{7}{2})^{1}; \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \frac{1}{x} \leq 0, \\ \frac{1}{x} \geq 1; \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x < 0, \\ \frac{1-x}{x} \geq 0. \end{bmatrix} \end{equation} Розв'яжемо другу нерівність сукупності: \begin{equation} \frac{1-x}{x} > 0. \end{equation} \begin{equation} 0 < x < 1. \end{equation} Об'єднуючи розв'язки обох нерівностей, маємо \begin{equation} \begin{bmatrix} x < 0, \\ 0 < x < 1. \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: (-∞; 0) U (0; +∞).