вправа 8.14 гдз 11 клас математика Мерзляк Номіровський 2019
Вправа 8.14
Умова:
Умова:
Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції:
Відповідь ГДЗ:
\begin{equation} 1)f(x)=e^{x}-x; \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=e^{x}-1 \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=0 \end{equation} якщо \begin{equation} e^{x}-1=0; \end{equation} \begin{equation} e^{x}=1; \end{equation} х = 0 - критична точка.
Спадає на (-∞; 0]
зростає на [0; +∞); \begin{equation} x_{\min}=0 \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=2x*2^{-x}+ \end{equation} \begin{equation} +x^{2}*2^{-x} \ln 2*(-1)= \end{equation} \begin{equation} =x*2^{-x}(2-x \ln 2) \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=0 \end{equation} при \begin{equation} x*2^{-x}(2-x \ln 2)=0; \end{equation} \begin{equation} \begin{matrix} [x=0, \\ [x=\frac{2}{\ln 2} \end{matrix} \end{equation} Зростає на \begin{equation} [0;\frac{2}{\ln 2}] \end{equation} спадає на \begin{equation} (-\infty; 0] і [\frac{2}{\ln 2};+\infty ) \end{equation} \begin{equation} x_{\min}=0, \end{equation} \begin{equation} x_{\max}=\frac{2}{\ln 2} \end{equation} \begin{equation} 3){f}'(x)=\frac{e^{x}(x-2)-e^{x}}{(x-2)^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{e^{x}(x-3)}{(x-2)^{2}} \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=0 \end{equation} при х=3, {f}'(x)
не існує при х = 2,
але х = 2 не належить
D(f)=(-∞; 2) U (2;+∞)
Спадає на (-∞; 2) і (2; 3]
зростає на [3; +∞), \begin{equation} x_{\min}=3. \end{equation} \begin{equation} 4)f(x)=\frac{4x}{e^{x}}, \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=\frac{4e^{x}-4xe^{x}}{e^{2x}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{4e^{x}(1-x)}{e^{2x}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{4(1-x)}{e^{x}}; \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=0 \end{equation} при х = 1 - критична точка.
Зростає на (-∞; 1] спадає на [1; +∞), \begin{equation} x_{\max}=1 \end{equation} \begin{equation} 5)D(f)=(0;+\infty) \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=3x^{2} \ln x+x^{3}*\frac{1}{x}= \end{equation} \begin{equation} =3x^{2} \ln x+x^{2}= \end{equation} \begin{equation} =x^{2}(3 \ln x+1). \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=0 \end{equation} якщо \begin{equation} x=e^{-\frac{1}{3}} \end{equation} - критична точка
Зростає на \begin{equation} [e^{-\frac{1}{3}}; +\infty) \end{equation} спадає на \begin{equation} (0;e^{-\frac{1}{3}}], \end{equation} \begin{equation} x_{\min}=e^{-\frac{1}{3}} \end{equation} \begin{equation} 6)f(x)=\ln x-x; \end{equation} \begin{equation} D(f)=(0;+ \infty) \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}; \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=0 \end{equation} при х = 1 - критична точка.
Зростає на (-∞; 1]
спадає на [1; +∞), \begin{equation} x_{\max}=1 \end{equation} \begin{equation} 7)f(x)=\ln x+\frac{1}{x}, \end{equation} \begin{equation} D(f)=(0;+ \infty) \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{x-1}{x^{2}}; \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=0 \end{equation} Зростає на [1; +∞)
спадає на (0; 1], \begin{equation} x_{\min}=1 \end{equation} \begin{equation} 8)f(x)=\frac{x}{\ln x}, \end{equation} \begin{equation} D(f)=(0;+ \infty ) \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=\frac{\ln x-x*\frac{1}{x}}{\ln^{2}x}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{\ln x-1}{\ln^{2}x}; \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=0 \end{equation} якщо ln - 1 = 0;
ln x = 1; x = e
- критична точка
Зростає на [e; +∞)
спадає на (0; e], \begin{equation} x_{\min}=e. \end{equation}
\begin{equation} 1)f(x)=e^{x}-x; \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=e^{x}-1 \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=0 \end{equation} якщо \begin{equation} e^{x}-1=0; \end{equation} \begin{equation} e^{x}=1; \end{equation} х = 0 - критична точка.
Спадає на (-∞; 0]
зростає на [0; +∞); \begin{equation} x_{\min}=0 \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=2x*2^{-x}+ \end{equation} \begin{equation} +x^{2}*2^{-x} \ln 2*(-1)= \end{equation} \begin{equation} =x*2^{-x}(2-x \ln 2) \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=0 \end{equation} при \begin{equation} x*2^{-x}(2-x \ln 2)=0; \end{equation} \begin{equation} \begin{matrix} [x=0, \\ [x=\frac{2}{\ln 2} \end{matrix} \end{equation} Зростає на \begin{equation} [0;\frac{2}{\ln 2}] \end{equation} спадає на \begin{equation} (-\infty; 0] і [\frac{2}{\ln 2};+\infty ) \end{equation} \begin{equation} x_{\min}=0, \end{equation} \begin{equation} x_{\max}=\frac{2}{\ln 2} \end{equation} \begin{equation} 3){f}'(x)=\frac{e^{x}(x-2)-e^{x}}{(x-2)^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{e^{x}(x-3)}{(x-2)^{2}} \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=0 \end{equation} при х=3, {f}'(x)
не існує при х = 2,
але х = 2 не належить
D(f)=(-∞; 2) U (2;+∞)
Спадає на (-∞; 2) і (2; 3]
зростає на [3; +∞), \begin{equation} x_{\min}=3. \end{equation} \begin{equation} 4)f(x)=\frac{4x}{e^{x}}, \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=\frac{4e^{x}-4xe^{x}}{e^{2x}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{4e^{x}(1-x)}{e^{2x}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{4(1-x)}{e^{x}}; \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=0 \end{equation} при х = 1 - критична точка.
Зростає на (-∞; 1] спадає на [1; +∞), \begin{equation} x_{\max}=1 \end{equation} \begin{equation} 5)D(f)=(0;+\infty) \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=3x^{2} \ln x+x^{3}*\frac{1}{x}= \end{equation} \begin{equation} =3x^{2} \ln x+x^{2}= \end{equation} \begin{equation} =x^{2}(3 \ln x+1). \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=0 \end{equation} якщо \begin{equation} x=e^{-\frac{1}{3}} \end{equation} - критична точка
Зростає на \begin{equation} [e^{-\frac{1}{3}}; +\infty) \end{equation} спадає на \begin{equation} (0;e^{-\frac{1}{3}}], \end{equation} \begin{equation} x_{\min}=e^{-\frac{1}{3}} \end{equation} \begin{equation} 6)f(x)=\ln x-x; \end{equation} \begin{equation} D(f)=(0;+ \infty) \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}; \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=0 \end{equation} при х = 1 - критична точка.
Зростає на (-∞; 1]
спадає на [1; +∞), \begin{equation} x_{\max}=1 \end{equation} \begin{equation} 7)f(x)=\ln x+\frac{1}{x}, \end{equation} \begin{equation} D(f)=(0;+ \infty) \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{x-1}{x^{2}}; \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=0 \end{equation} Зростає на [1; +∞)
спадає на (0; 1], \begin{equation} x_{\min}=1 \end{equation} \begin{equation} 8)f(x)=\frac{x}{\ln x}, \end{equation} \begin{equation} D(f)=(0;+ \infty ) \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=\frac{\ln x-x*\frac{1}{x}}{\ln^{2}x}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{\ln x-1}{\ln^{2}x}; \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=0 \end{equation} якщо ln - 1 = 0;
ln x = 1; x = e
- критична точка
Зростає на [e; +∞)
спадає на (0; e], \begin{equation} x_{\min}=e. \end{equation}