вправа 8.15 гдз 11 клас математика Мерзляк Номіровський 2019
Вправа 8.15
Умова:
Умова:
Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції:
Відповідь ГДЗ:
\begin{equation} 2){f}'(x)=\frac{e^{x}-(x+3)e^{x}}{e^{2x}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{e^{x}-(1-x-3)}{e^{2x}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{-x-2}{e^{x}} \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=0 \end{equation} при х = -2 - критична точка.
Зростає на (-∞]
спадає на \begin{equation} [-2;+\infty),x_{\max}=-2. \end{equation} \begin{equation} 3)D(f)=(0;+ \infty). \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=x-\frac{1}{x}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{x^{2}-1}{x}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{(x-1)(x+2)}{x} \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=0 \end{equation} при х = -1 і х = 1 - критична точка \begin{equation} (-1 \notin D(f)) \end{equation} Зростає на [1; +∞)
спадає на \begin{equation} (-\infty; 1], x_{\min}=1 \end{equation} \begin{equation} 4)D(f)=(0;+\infty ). \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=\frac{\frac{1}{x}*x- \ln x}{x^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1- \ln x}{x^{2}}; \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=0 \end{equation} при 1 - ln x = 0; ln x = 1,
x = e - критична точка
Зростає на (0; e], спадає на
\begin{equation} [e; +\infty ).x_{\max}=e. \end{equation} \begin{equation} 5)D(f)=(-\infty , 0) \cup (0; +\infty) \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=\frac{1}{x^{2}}*2x-\frac{2}{x^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{2x-2}{x^{2}}; \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=0 \end{equation} при х = 1 - критична точка.
Зростає на [1; +∞)
спадає на \begin{equation} (-\infty; 0) і (0;1]. x_{\max}=1 \end{equation} \begin{equation} 6)f(x)=\frac{\ln x}{\sqrt{x}}; \end{equation} \begin{equation} D(f)=(0;+\infty) \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=\frac{\frac{1}{x}*\sqrt{x}- \ln x*\frac{1}{2\sqrt{x}}}{x}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{2\sqrt{x}- \ln x*\sqrt{x}}{2x^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{\sqrt{x}(2-\ln x)}{2x^{2}} \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=0 \end{equation} при \begin{equation} \ln x=2; x=e^{2} \end{equation} -критична точка
Зростає на \begin{equation} (0;e^{2}] \end{equation} спадає на \begin{equation} [e^{2}; +\infty ), x_{\max}=e^{2}. \end{equation}
\begin{equation} 2){f}'(x)=\frac{e^{x}-(x+3)e^{x}}{e^{2x}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{e^{x}-(1-x-3)}{e^{2x}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{-x-2}{e^{x}} \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=0 \end{equation} при х = -2 - критична точка.
Зростає на (-∞]
спадає на \begin{equation} [-2;+\infty),x_{\max}=-2. \end{equation} \begin{equation} 3)D(f)=(0;+ \infty). \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=x-\frac{1}{x}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{x^{2}-1}{x}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{(x-1)(x+2)}{x} \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=0 \end{equation} при х = -1 і х = 1 - критична точка \begin{equation} (-1 \notin D(f)) \end{equation} Зростає на [1; +∞)
спадає на \begin{equation} (-\infty; 1], x_{\min}=1 \end{equation} \begin{equation} 4)D(f)=(0;+\infty ). \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=\frac{\frac{1}{x}*x- \ln x}{x^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1- \ln x}{x^{2}}; \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=0 \end{equation} при 1 - ln x = 0; ln x = 1,
x = e - критична точка
Зростає на (0; e], спадає на
\begin{equation} [e; +\infty ).x_{\max}=e. \end{equation} \begin{equation} 5)D(f)=(-\infty , 0) \cup (0; +\infty) \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=\frac{1}{x^{2}}*2x-\frac{2}{x^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{2x-2}{x^{2}}; \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=0 \end{equation} при х = 1 - критична точка.
Зростає на [1; +∞)
спадає на \begin{equation} (-\infty; 0) і (0;1]. x_{\max}=1 \end{equation} \begin{equation} 6)f(x)=\frac{\ln x}{\sqrt{x}}; \end{equation} \begin{equation} D(f)=(0;+\infty) \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=\frac{\frac{1}{x}*\sqrt{x}- \ln x*\frac{1}{2\sqrt{x}}}{x}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{2\sqrt{x}- \ln x*\sqrt{x}}{2x^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{\sqrt{x}(2-\ln x)}{2x^{2}} \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=0 \end{equation} при \begin{equation} \ln x=2; x=e^{2} \end{equation} -критична точка
Зростає на \begin{equation} (0;e^{2}] \end{equation} спадає на \begin{equation} [e^{2}; +\infty ), x_{\max}=e^{2}. \end{equation}