вправа 8.19 гдз 11 клас математика Мерзляк Номіровський 2019
Вправа 8.19
Умова:
Умова:
Дослідіть функцію та побудуйте її графік.
Відповідь ГДЗ:
\begin{equation} f(x)=\frac{x}{e^{x}} \end{equation} \begin{equation} 1.D(f)=(-\infty ; +\infty ) \end{equation} \begin{equation} 2.f(-x)=\frac{-x}{e^{-x}}=-xe^{x}, \end{equation} \begin{equation} f(-x) \neq f(x); \end{equation} \begin{equation} f(-x) \neq - f(x). \end{equation} Функція ні парна, ні непарна.
3.Вертикальніх асимптот немає,
функція неперервна. \begin{equation} k=\lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x}= \end{equation} \begin{equation} =\lim_{x \to \infty}\frac{x}{xe^{x}}= \end{equation} \begin{equation} =\lim_{x \to \infty}e^{x}=\infty , \end{equation} Похилих асимптот немає \begin{equation} 4){f}'(x)=\frac{e^{x}-xe^{x}}{e^{2x}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{e^{x}(1-x)}{e^{2x}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1-x}{e^{x}}; \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=0 \end{equation} при х = 1 - критична точка
Функція зростає на \begin{equation} (-\infty; 1] \end{equation} спадає на \begin{equation} (1;+ \infty].x_{\min}=1. \end{equation} \begin{equation} f(1)=\frac{1}{e^{1}}=\frac{1}{e}. \end{equation} \begin{equation} 5.{f}''(x)=\frac{-e^{x}-(1-x)e^{x}}{e^{2x}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{-e^{x}-e^{x}+xe^{x}}{e^{2x}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{-2+x}{e^{x}} \end{equation} \begin{equation} {f}''(x)=0 \end{equation} при х = 2 можлива точка перегину.
Функція опукла вгору при \begin{equation} x \in (-\infty; 2), \end{equation} опукла вниз для \begin{equation} x \in (2;+ \infty) \end{equation} х = 2 - точка перегину.
\begin{equation} f(x)=\frac{x}{e^{x}} \end{equation} \begin{equation} 1.D(f)=(-\infty ; +\infty ) \end{equation} \begin{equation} 2.f(-x)=\frac{-x}{e^{-x}}=-xe^{x}, \end{equation} \begin{equation} f(-x) \neq f(x); \end{equation} \begin{equation} f(-x) \neq - f(x). \end{equation} Функція ні парна, ні непарна.
3.Вертикальніх асимптот немає,
функція неперервна. \begin{equation} k=\lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x}= \end{equation} \begin{equation} =\lim_{x \to \infty}\frac{x}{xe^{x}}= \end{equation} \begin{equation} =\lim_{x \to \infty}e^{x}=\infty , \end{equation} Похилих асимптот немає \begin{equation} 4){f}'(x)=\frac{e^{x}-xe^{x}}{e^{2x}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{e^{x}(1-x)}{e^{2x}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1-x}{e^{x}}; \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=0 \end{equation} при х = 1 - критична точка
Функція зростає на \begin{equation} (-\infty; 1] \end{equation} спадає на \begin{equation} (1;+ \infty].x_{\min}=1. \end{equation} \begin{equation} f(1)=\frac{1}{e^{1}}=\frac{1}{e}. \end{equation} \begin{equation} 5.{f}''(x)=\frac{-e^{x}-(1-x)e^{x}}{e^{2x}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{-e^{x}-e^{x}+xe^{x}}{e^{2x}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{-2+x}{e^{x}} \end{equation} \begin{equation} {f}''(x)=0 \end{equation} при х = 2 можлива точка перегину.
Функція опукла вгору при \begin{equation} x \in (-\infty; 2), \end{equation} опукла вниз для \begin{equation} x \in (2;+ \infty) \end{equation} х = 2 - точка перегину.