вправа 1.13 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019
Вправа 1.13
Умова:
Знайдіть площу бічної поверхні правильної чотирикутної призми, діагональ якої завдовжки а утворює:
1) з площиною основи кут 60°;
2) з площиною бічної грані кут 30°.
1) з площиною основи кут 60°;
2) з площиною бічної грані кут 30°.
Розв'язання:
Нехай ABCDA1B1C1D1 -
правильна призма.
Тоді АВСD - квадрат, ВВ1 ┴ (АВС),
В1D = а - діагональ призми,
тоді ∠ВDВ1 - кут між діагоналлю призми та її основою.
1) Нехай ∠ВDВ1 = 60°.
Знайдемо Sбіч. - площу бічної поверхні призми.
За теоремою 1.1
Sбіч. = РАВСD • ВВ1,
де РАВСD = 4АВ - периметр
основи ВВ1 - висота призми.
Із ΔВ1BD (∠В1ВD = 90°)
ВВ1 = В1D • sin∠ВDВ1 \begin{equation} BB_{1}=asin60^{\circ}= \end{equation} \begin{equation} =a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \end{equation} ВD = В1D • cos∠ВDВ1 \begin{equation} BD=acos60^{\circ}= \end{equation} \begin{equation} =a\cdot \frac{1}{2}=\frac{a}{2}. \end{equation} Так як АВСD квадрат, то \begin{equation} AB=\frac{BD}{\sqrt{2}}=\frac{a}{2\sqrt{2}} \end{equation} Тоді \begin{equation} P_{ABCD}=4AB= \end{equation} \begin{equation} =4\cdot \frac{a}{2\sqrt{2}}=\frac{2a}{\sqrt{2}} \end{equation} \begin{equation} S_{біч.}=\frac{2a}{\sqrt{2}}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{a^{2}\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{a^{2}\sqrt{6}}{2}. \end{equation} 2) За властивістю прямої призми площина основи ABCD перпендикулярна до бічної грані АВВ1А1.
Проведемо АВ1,
тоді АВ1 ┴ АD.
Отже, АВ1 - проекція В1D
на бічну грань АВВ1А1,
тоді ∠АВ1D - кут між діагоналлю призми та бічною гранню.
За умовою ∠АВ1D = 30°.
Знайдемо Sбіч. - бічну поверхню призми.
Sбіч. = РАВСD • ВВ1,
де РАВСD - периметр основи.
Із ΔАВ1D (∠В1АD = 90°;
∠АВ1D = 30°).
АD = В1Dsin∠АВ1D =
= аsin30гр = \begin{equation} =\frac{a}{2}, \end{equation} АВ1 = В1Dcos30° = \begin{equation} =\frac{a\sqrt{3}}{2}. \end{equation} Так як АВСD - квадрат,
то РАВСD = 4АD = \begin{equation} =4\cdot \frac{a}{2}=2a \end{equation} \begin{equation} AB=AD=\frac{a}{2} \end{equation} Із ΔАВВ1 (∠АВВ1 = 90°) \begin{equation} BB_{1}^{2}=AB_{1}^{2}-AB^{2}, \end{equation} \begin{equation} BB_{1}=\sqrt{AB_{1}^{2}-AB^{2}} \end{equation} \begin{equation} BB_{1}=\sqrt{(\frac{a\sqrt{3}}{2}^{2})-(\frac{a}{2})^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{\frac{3a}{4}-\frac{a}{4}}=\frac{a}{\sqrt{2}} \end{equation} \begin{equation} S_{біч.}=2a\cdot \frac{a}{\sqrt{2}}=a^{2}\sqrt{2}. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} 1)\frac{a^{2}\sqrt{6}}{\sqrt{2}}; 2)a^{2}\sqrt{2} \end{equation}