вправа 1.15 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

11 клас ➠ математика ➠ Нелін Долгова

 

Вправа 1.15


Умова: 

 

Площа бічної поверхні правильної чотирикутної призми ABCDA1B1C1D1 з основою ABCD дорівнює 48 м², а площа перерізу ABC1D1 15 м². Знайдіть висоту призми.

 

Розв'язання:



Нехай ABCDA1B1C1D1 -
правильна призма,
тоді АВСD - квадрат,
DD1 ┴ (АВС),
DD1 є висотою призми.
За властивістю прямої призми площина основи АВСD перпендикулярна до бічних граней АА1В1В і СС1D1D.
АВ ┴ АD, тоді за теоремою про три перпендикуляри АВ ┴ АD1.
Так як С1D1║АВ, то С1D1 ┴ АD1.
Отже, АВС1D - прямокутник.
Позначимо а - сторона основи,
h - висота призми.
Sбіч. = РАВСD • h = 4а • h
4аh = 48,
звідки \begin{equation} a=\frac{12}{h}. \end{equation} Із ΔАDD1 (∠АDD1 = 90гр) \begin{equation} AD_{1}=\sqrt{DD_{1}^{2}+AD^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{h^{2}+a^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{h^{2}+\frac{144}{h^{2}}}. \end{equation} SАВС₁D₁ = АВ • АD1 - площа перерізу \begin{equation} S_{ABC_{1}D_{1}}= \end{equation} \begin{equation} =a\cdot \sqrt{h^{2}+\frac{144}{h^{2}}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{12}{h}\sqrt{\frac{h^{4}+144}{h^{2}}} \end{equation} За умовою SАВС₁D₁ = 15 м², тоді \begin{equation} \frac{12}{h}\sqrt{\frac{h^{4}+144}{h^{2}}}=15 \end{equation} \begin{equation} \frac{12}{h^{2}}\sqrt{h^{4}+144}=15 \end{equation} \begin{equation} \frac{144}{h^{4}}(h^{4}+144)=225 \end{equation} \begin{equation} 144+\frac{144^{2}}{h^{4}}=225 \end{equation} \begin{equation} (\frac{12}{h}^{4})=225-144 \end{equation} \begin{equation} (\frac{12}{h}^{4})=81 \end{equation} \begin{equation} \frac{12}{h}=3, \end{equation} звідки h = 4 - висота призми.
Відповідь: 4 м