вправа 1.16 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

11 клас ➠ математика ➠ Нелін Долгова

 

Вправа 1.16
Умова: 

 

Висота прямої призми дорівнює 15, її основою є рівнобічна трапеція з висотою 10 і основами 25 і 45. Знайдіть:
1) площу бічної поверхні призми;
2) площу діагонального перерізу призми;
3) двогранні кути при бічних ребрах призми.

 

Розв'язання:
Нехай ABCDA1B1C1D1 - пряма призма,
АВСD - рівнобічна трапеція.
СК - висота трапеції,
АС - діагональ трапеції,
АА1С1С - діагональний переріз призми.
1) Sбіч. = Р • h, де Р - периметр основи призми h - висота.
Так як призма пряма, то бічне ребро АА1 є висотою призми.
Так як АВСD - рівнобічна трапеція,
СК - її висота, то $$KD=\frac{AD-BC}{2}=$$ $$=\frac{45-25}{2}=10\hspace{0.5em}(од.)$$ Із ΔСКD (∠СКD = 90°) $$CD=\sqrt{C{K}^2+K{D}^2}$$ $$CD=\sqrt{{10}^2+{10}^2}=$$ $$=10\sqrt{2}(од.).$$ Тоді Р = 10√2 + 10√2 + 45 + 25 =
= 20√2 + 70
Sбіч. = (20√2 + 70) • 15 =
= 150(2√2 + 7) (кв.од.).
2) АА1С1С - діагональний переріз призми.
Так як АВСDА1В1С1D1 - пряма призма,
то АА1С1С - прямокутник.
SАА₁С₁С = АА1 • АС
АК = АD - КD = 45 - 10 = 35 (од.)
Із ΔАСК (∠АКС = 90°) $$AC=\sqrt{A{K}^2+C{K}^2}$$ $$AC=\sqrt{{10}^2+{35}^2}=$$ $$=5\sqrt{53}$$ $$S_{A{A}_{}{C}_{1}C}=15\cdot 5\sqrt{53}=$$ $$=75\sqrt{53}(кв.од.).$$ 3) Так як DD1 ┴ (АВС),
то DD1 ┴ СD і DD1 ┴ АD,
тому ∠АDС - лінійний кут двогранного кута при ребрі DD1.
Величина двогранного кута відповідно тоді дорівнює величині кута АDС.
Із ΔСКD (∠СКD = 90°)
СК = 10, КD = 10,
тоді ΔСКD - рівнобедрений,
отже ∠АDС = ∠КDС = $$=\frac{1}{2}({180}^{\circ }-{90}^{\circ })={45}^{\circ }.$$ Аналогічно доводиться, що ∠ВСD - лінійний кут двогранного кута при ребрі СС1, тоді його величина ∠ВСD = 180° - ∠КDС =
= 180° - 45° = 135°.
Відповідь: $$1)150(2\sqrt{2}+7)\hspace{0.5em}кв.од.;$$ $$2)75\sqrt{53}\hspace{0.5em}кв.од.;$$ $$3){45}^{\circ }\hspace{0.5em}та\hspace{0.5em}{135}^{\circ }$$