вправа 1.18 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019
Вправа 1.18
Умова:
Діагональ BD1 правильної чотирикутної призми ABCDA1B1C1D1 завдовжки а утворює з площиною бічної грані ВСС1В1 кут 30°. Знайдіть:
1) кут між цією діагоналлю і площиною основи;
2) площу діагонального перерізу BC1D1A;
3) площу діагонального перерізу BB1D1D.
1) кут між цією діагоналлю і площиною основи;
2) площу діагонального перерізу BC1D1A;
3) площу діагонального перерізу BB1D1D.
Розв'язання:
Призма ABCDA1B1C1D1 - пряма, тому кожне її бічне ребро є висотою призми і перпендикулярне до основ.
Призма правильна,
тому А1В1С1D1 - квадрат,
отже D1С1 ┴ С1В1 і
D1С1 ┴ СС1,
отже D1С1 ┴ (ВСС1).
Відрізок ВС1 є проекцією діагоналі
ВD1 на площину ВСС1В1,
тоді кут ∠С1ВD1 - кут між ВD1
і бічною гранню ВСС1В1.
За умовою він 30°,
тобто ∠С1ВD1 = 30°.
Із ΔD1С1В (∠D1С1В = 90°).
ВС1 = ВD1cos∠С1ВD1 = \begin{equation} =acos30^{\circ}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \end{equation} С1D1 = ВD1sin∠С1ВD1 = \begin{equation} =asin30^{\circ}=\frac{a}{2} \end{equation} Так як А1В1С1D1 - квадрат, то \begin{equation} B_{1}D_{1}=C_{1}D_{1}\sqrt{2}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a}{\sqrt{2}}. \end{equation} 1) Так як ВВ1 ┴ А1В1С1D1,
то ΔВВ1D1 - прямокутний
(∠ВВ1D1 = 90°) \begin{equation} cos\angle BD_{1}B_{1}=\frac{B_{1}D_{1}}{BD} \end{equation} \begin{equation} cos\angle BD_{1}B_{1}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{\frac{a}{\sqrt{2}}}{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}, \end{equation} звідки ∠ВD1В = 45°.
Так як В1D є проекцією ВD1 на площину А1В1С1D1,
то ∠ВD1В1 - кут між діагоналю призми ВD1 і площиною основи.
2) AB║C1D1, AD1║BC1 - діагоналі бічних граней призми, які лежать в паралельних гранях,
ВD1 = АС1 - діагоналі призми,
тому АВС1D1 - прямокутник.
SВС1D1А = С1D1 • С1В \begin{equation} S_{BC_{1}D_{1}A}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{a}{2}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}. \end{equation} 3) Діагональний переріз правильної призми - прямокутник,
тому SВВ1D1D = ВВ1 • В1D1.
Розглянемо ΔВВ1D:
∠ВВ1D1 = 90° і ∠ВD1В1 = 45° (із п.1), тоді цей трикутник рівнобедрений, отже \begin{equation} BB_{1}=B_{1}D_{1}=\frac{a}{\sqrt{2}} \end{equation} \begin{equation} S_{BB_{1}D_{1}D}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{a}{\sqrt{2}}\cdot \frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a^{2}}{2}. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} 1)45^{\circ};2)\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4};3)\frac{a^{2}}{2} \end{equation}