вправа 1.9 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

11 клас ➠ математика ➠ Нелін Долгова

 

Вправа 1.9


Умова: 

 

Основою призми є правильний шестикутник зі стороною а, а бічні грані є квадратами. Знайдіть діагоналі призми і площі її діагональних перерізів.

 

Розв'язання:



Нехай ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ - призма.
Так як бічні грані - квадрати, то бічні ребра призми перпендикулярні основам призми.
Враховуючи, що ABCDEF - правильний шестикутник, то призма ABCDEF - правильна призма, у якої всі ребра рівні між собою.
За властивістю правильного шестикутника
АD = 2а,
АЕ = √3а.
Так як АА₁, ЕЕ₁, DD₁ перпендикулярні до основ призми,
то АА₁Е₁Е та АА₁DD₁ - прямокутники.
АD₁ і АЕ₁ - більша і менша діагоналі призми відповідно.
Із ΔАЕЕ₁ (∠АЕЕ₁ = 90°) \begin{equation} AE_{1}=\sqrt{AE^{2}+EE_{1}^{2}} \end{equation} \begin{equation} AE_{1}=\sqrt{3a^{2}+a^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{4a^{2}}=2a \end{equation} Із ΔАDD₁ (∠АDD₁ = 90°) \begin{equation} AD_{1}=\sqrt{AD^{2}+DD_{1}^{2}} \end{equation} \begin{equation} AD_{1}=\sqrt{4a^{2}+a^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{5a^{2}}=a\sqrt{5} \end{equation} АА₁Е₁Е - прямокутник, тоді його площа:
SАА₁Е1Е = АЕ • ЕЕ₁ =
= √3а • а = а²√3 - площа меншого діагонального перерізу призми.
АА₁D₁D - прямокутник, тоді його площа:
SАА₁D₁D = АD • DD₁ =
= 2а • а² = 2а² - площа більшого діагонального перерізу.
Відповідь: 2а, а√5 - діагоналі призми; а²√3, 2а² - площі діагональних перерізів призми