вправа 10.12 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

Вправа 10.12


Умова: 

Через середню лінію основи трикутної призми проведено площину, паралельну бічному ребру. У якому відношенні ця площина ділить об'єм призми?

Розв'язання:


Нехай задано трикутна призма.
Позначимо АВ = а, ВС = b, ∠АВС = φ.
Нехай КL - середня лінія ΔАВС.
Проведемо площину (КLМ)║ВВ₁.
Отримаємо дві многогранника:
ВКLВ₁К₁L₁ і КLАСNМАС₁,
позначимо відповідно їх об'єми V₁ і V₂, а об'єм призми V.
Тоді V = S_осн. • h = \begin{equation} =\frac{1}{2}absin\varphi \cdot h \end{equation} \begin{equation} V_{1}=\frac{1}{2}BL\cdot BKsin\varphi \cdot h= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{2}\cdot \frac{a}{2}\cdot \frac{b}{2}sin\varphi \cdot h= \end{equation} \begin{equation} =\frac{absin\varphi \cdot h}{8} \end{equation} V₂ = V - V₁ = \begin{equation} =\frac{1}{2}abhsin\varphi -\frac{1}{8}abhsin\varphi = \end{equation} \begin{equation} =\frac{3}{8}abhsin\varphi. \end{equation} \begin{equation} \frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\frac{1}{8}abhsin\varphi }{\frac{3}{8}abhsin\varphi }=\frac{1}{3}. \end{equation} Тобто: V₁ : V₂ = 1 : 3.
Відповідь: 1 : 3