вправа 10.14 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

Вправа 10.14


Умова: 

Визначте об'єм прямокутного паралелепіпеда, діагональ якого дорівнює d і утворює з площиною основи кут α, а з площиною бічної грані – кут β.

Розв'язання:


Нехай АВСDА₁В₁С₁D₁ - прямокутний паралелепіпед.
АС₁ = d - діагональ.
Так як СС₁ ┴ (АВС), то АС проекція АС₁ на (АВС), тому ∠САС₁ = α.
Так як АD ┴ (СDD₁), то С₁D - проекція АС₁ на (СDD₁), тому діагоналлю АС₁ і бічною гранню.
Із ΔАСС₁ (∠АСС₁ = 90°).
АС = dcosα,
СС₁ = dsinα.
Із ΔАDС₁ (∠АDС₁ = 90°):
АD = dsinβ.
Із ΔАDС (∠АDС = 90°). \begin{equation} CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{d^{2}cos^{2}\alpha -d^{2}sin^{2}\beta }= \end{equation} \begin{equation} =d\sqrt{cos^{2}\alpha -sin^{2}\beta } \end{equation} S_осн. = АD • СD, \begin{equation} S_{осн.}=dsin\beta \cdot \end{equation} \begin{equation} \cdot d\sqrt{cos^{2}\alpha -sin^{2}\beta }= \end{equation} \begin{equation} =d^{2}sin\beta \sqrt{cos^{2}\alpha -sin^{2}\beta } \end{equation} V = S_осн. • СС₁ - об'єм паралелепіпеда. \begin{equation} V=dsin\alpha \cdot d^{2}sin\beta \cdot \end{equation} \begin{equation} \cdot \sqrt{cos^{2}\alpha -sin^{2}\beta }= \end{equation} \begin{equation} =d^{3}sin\alpha sin\beta \end{equation} \begin{equation} \sqrt{cos^{2}\alpha -sin^{2}\beta }. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} d^{3}sin\alpha sin\beta \end{equation} \begin{equation} \sqrt{cos^{2}\alpha -sin^{2}\beta } \end{equation}