вправа 10.15 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

Вправа 10.15


Умова: 

У прямому паралелепіпеді сторони основи дорівнюють 16 см і 10 см та утворюють кут 60°. Менша діагональ паралелепіпеда утворює з площиною основи кут 30°. Визначте об'єм цього паралелепіпеда.

Розв'язання:


Нехай АВСDА₁В₁С₁D₁ - прямий паралелепіпед,
тоді АВСD - паралелограм,
ВВ₁ ┴ (АВС), ВD - проекція діагоналі В₁D паралелепіпеда на (АВС),
отже ∠ВDВ₁ = 30°.
АВ = 10 см,
АD = 16 см,
∠ВАD = 60°.
Знайдемо V - об'єм паралелепіпеда.
V = S_осн. • h,
де S_осн. - площа основи АВСD,
L - висота паралелепіпеда.
S_осн. = АВ • АDsin∠ВАD =
= 10 • 16 • sin60° = \begin{equation} =160\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=80\sqrt{3}(см^{3}). \end{equation} Із ΔАВСD за теоремою косинусів ВD² = АВ² + АD² - 2АВ • АВcos∠ВАD.
ВD² = 100 + 256 - 2 • 10 • 16 • cos60°
ВD² = 356 - 160 = 196
ВD = 14 (см)
Із ΔВDВ₁ (∠DВВ₁ = 90°)
ВВ₁ = ВDtg∠ВDВ₁ = 14tg30° = \begin{equation} =\frac{14\sqrt{3}}{3}(см) \end{equation} \begin{equation} V=80\sqrt{3}\cdot \frac{14\sqrt{3}}{3}= \end{equation} \begin{equation} =1120(см^{3}). \end{equation} Відповідь: 1120 см³