вправа 10.18 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

Вправа 10.18


Умова: 

Діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює а і нахилена до площини основи під кутом φ. Знайдіть об'єм циліндра.

Розв'язання:


Нехай хадано циліндр,
АВСD - осьовий переріз,
АВ - твірна.
Так як АВ перпендикулярна основі циліндра,
то АD - проекція ВD на площину основи,
тоді ∠АDВ = φ - кут нахилу діагоналі ВD до площини основи,
ВD = a.
V = πR²h.
АD = 2R, тому \begin{equation} R=\frac{AD}{2}; \end{equation} h = АВ.
Із ΔАВD (∠ВАD = 90°)
АD = аcosφ, тоді \begin{equation} R=\frac{a}{2}cos\varphi \end{equation} АВ = аsinφ,
тоді h = аsinφ \begin{equation} V=\Pi \cdot (\frac{a}{2}cos\varphi )^{2}\cdot asin\varphi = \end{equation} \begin{equation} =\frac{\Pi }{4}a^{3}cos^{2}\varphi sin\varphi . \end{equation} Відповідь: \begin{equation} \frac{\Pi }{4}a^{3}cos^{2}\varphi sin\varphi \end{equation}