вправа 10.20 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

Вправа 10.20


Умова: 

У скільки разів об'єм циліндра, описаного навколо правильної чотирикутної призми, більший за об'єм циліндра, вписаного в ту саму призму?

Розв'язання:


Нехай АВСD - основа правильної призми.
Позначимо R, r - радіуси основ циліндрів описаного і вписаного в призму відповідно.
Тоді \begin{equation} R=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}a\sqrt{2} \end{equation} (BD - діагональ квадрата ABCD зі стороною а). \begin{equation} r=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a \end{equation} Циліндри мають однакові висоти, які позначимо h.
Тоді об'єм циліндра описаного навколо призми:
V₁ = πR²h = \begin{equation} =\Pi \cdot (\frac{1}{2}a\sqrt{2})^{2}h= \end{equation} \begin{equation} =\frac{a^{2}\Pi h}{2} \end{equation} Об'єм циліндра вписаного в призму:
V₂ = πr²h = \begin{equation} =\Pi \cdot (\frac{1}{2}a)^{2}h= \end{equation} \begin{equation} =\Pi \frac{a^{2}}{2}h \end{equation} \begin{equation} \frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{a^{2}\Pi h}{2}\cdot \frac{4}{\Pi a^{2}h}=2 \end{equation} Отже, об'єм описаного циліндра вдвічі більший за об'єм вписаного.
Відповідь: 2