вправа 11.10 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

Вправа 11.10


Умова: 

Знайдіть об'єм правильного тетраедра з ребром, що дорівнює 1.

Розв'язання:


Нехай QАВС - правильний тетраедр,
ребро QО ┴ пл.АВС,
тоді QО - висота піраміди,
АО - радіус кола, описаного навколо ΔАВС.
ΔАВС - правильний,
тоді S_осн. = S_ΔАВС = \begin{equation} =\frac{AB^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}(кв.од.) \end{equation} \begin{equation} AO=\frac{AB}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}} \end{equation} Із ΔАОQ (∠АОQ = 90°) \begin{equation} OQ=\sqrt{AQ^{2}-AO^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{1-(\frac{1}{\sqrt{3}})^{2}}=\sqrt{\frac{2}{\sqrt{3}}}. \end{equation} Об'єм піраміди: \begin{equation} V=\frac{1}{3}S_{}\cdot OQ= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{3}\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}}(кв.од.). \end{equation} \begin{equation} Відповідь: \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}}кв.од. \end{equation}