вправа 11.12 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

 


Вправа 11.12


Умова: 

 

Бічні ребра трикутної піраміди взаємно перпендикулярні, кожне з них дорівнює b. Знайдіть об'єм піраміди.


Розв'язання:

вправа 11.12 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019
Нехай DАВС - піраміда,
АD ┴ СD,
АD ┴ ВD,
СD ┴ ВD,
АD = ВD = СD = b.
Із ΔАВD (∠АDВ = 90°): \begin{equation} AB=\sqrt{AD^{2}+BD^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{b^{2}+b^{2}}=b\sqrt{2}. \end{equation} Проведемо DО ┴ (АВС) ΔАВС - правильний (так, як всі ребра піраміди рівні, то ΔАDВ = ΔАDС = ΔВDС),
тоді Sосн. = SΔАВС = \begin{equation} =\frac{AB^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{(b\sqrt{2})^{2}\sqrt{3}}{4}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{b^{2}\sqrt{3}}{2} \end{equation} АО - радіус кола описаного навколо ΔАВС, \begin{equation} AO=\frac{AB}{\sqrt{3}}=\frac{b\sqrt{2}}{3} \end{equation} Із ΔАОD (∠АОD = 90°) \begin{equation} DO=\sqrt{AD^{2}-AO^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{b^{2}-(\frac{b\sqrt{2}}{\sqrt{3}})^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{b}{\sqrt{3}} \end{equation} Об'єм піраміди: \begin{equation} V=\frac{1}{3}S_{осн.}\cdot DO= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{3}\frac{b^{2}\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{b}{\sqrt{6}}=\frac{b^{3}}{6}. \end{equation} \begin{equation} V=\frac{1}{3}S_{осн.}\cdot DO= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{3}\frac{b^{2}\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{b}{\sqrt{6}}=\frac{b^{3}}{6}. \end{equation} \begin{equation} Відповідь: \frac{b^{3}}{6} \end{equation}