вправа 11.13 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

Вправа 11.13


Умова: 

Як зміниться об'єм правильної піраміди, якщо висота її буде збільшена в n разів, а сторона основи зменшена в стільки ж разів?

Розв'язання:

Нехай задана правильна, наприклад, чотирикутна піраміда.
Позначимо а - сторона основи,
h - висота піраміди,
тоді її об'єм: \begin{equation} V_{1}=\frac{1}{3}S_{осн._{1}}h_{1}=\frac{1}{3}a^{2}h \end{equation} Нехай висоту збільшили в n раз, а ребро зменшили в n раз, тоді об'єм піраміди: \begin{equation} V_{2}=\frac{1}{3}S_{осн._{2}}h_{2}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{3}(\frac{a}{n})^{2}\cdot nh=\frac{1}{3}\frac{a^{2}h}{n} \end{equation} \begin{equation} \frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\frac{1}{2}a^{2}h}{\frac{1}{3}\frac{a^{2}h}{n}}=n, \end{equation} звідси V₁ = nV₂, тобто об'єм піраміди зменшився в n разів.
Відповідь: зменшиться у n разів