вправа 11.15 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

 


Вправа 11.15


Умова: 

 

Знайдіть об'єм октаедра з ребром, яке дорівнює 1.


Розв'язання:

вправа 11.15 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019
Нехай задано октаедр з ребром 1.
Знайдемо об'єм частини QАВСD, яка представляє собою правильну піраміду, всі ребра якої 1.
Sосн. = SАВСD = 1.
Із ΔАВD (∠ВАD = 90°) \begin{equation} BD=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{2} \end{equation} Із ΔВQD (рівнобедрений): \begin{equation} OQ=\sqrt{QD^{2}-OD^{2}} \end{equation} \begin{equation} OD=\frac{1}{2}BD= \end{equation} \begin{equation} =\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{equation} \begin{equation} OQ=\sqrt{1-(\frac{1}{\sqrt{2}})^{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{equation} \begin{equation} V_{QABCD}=\frac{1}{3}S_{осн.}\cdot OQ= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{3}\cdot 1\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{3\sqrt{2}} \end{equation} Об'єм октаедра: \begin{equation} V=2V_{QABCD}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{2}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3} (куб.од.) \end{equation} \begin{equation} Відповідь: \frac{\sqrt{2}}{3} (куб.од.) \end{equation}