вправа 11.17 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019
Вправа 11.17
Умова:
У скільки разів збільшиться об'єм кругового конуса, якщо:
1) висоту збільшити в 3 рази;
2) радіус основи збільшити в 2 рази?
Розв'язання:
Нехай задано конус.
Позначимо R - радіус основи,
h - висота конуса, тоді \begin{equation} V=\frac{1}{3}\Pi R^{2}h. \end{equation} 1) Збільшимо висоту в 3 рази, тоді об'єм нового конуса: \begin{equation} V_{1}=\frac{1}{3}\Pi R^{2}\cdot 3h= \end{equation} \begin{equation} =\Pi R^{2}h. \end{equation} Отже, \begin{equation} \frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\frac{1}{3}\Pi R^{2}h}{\Pi R^{2}h}=\frac{1}{3}, \end{equation} звідки V1 = 3V - об'єм збільшився в 3 рази.
2) Збільшимо радіус основи в 2 рази, тоді: \begin{equation} V_{2}=\frac{1}{3}(2R)^{2}h= \end{equation} \begin{equation} =\frac{4}{3}\Pi R^{2}h \end{equation} \begin{equation} \frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\frac{1}{3}\Pi R^{2}h}{\frac{4}{3}\Pi R^{2}h}=\frac{1}{4}, \end{equation} звідки V2 = 4V - об'єм збільшився в 4 рази. Відповідь:
1) збільшиться в 3 рази;
2) збільшиться в 4 рази