вправа 11.20 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

 


Вправа 11.20


Умова: 

 

Об'єм конуса дорівнює V. Паралельно основі конуса проведено переріз, що ділить висоту навпіл. Чому дорівнює відношення об'ємів отриманих частин конуса?


Розв'язання:

вправа 11.20 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019
Нехай задано конус, об'єм якого V.
Позначимо R - радіус основи конуса,
h = ОР - висота конуса.
Проведемо переріз паралельний основі через середину ОР,
нехай т.О1 - центр переріз (в перерізі отримаємо коло).
Позначимо r - радіус перерізу.
Проведемо твірну РА,
т.А1 - точка перетину РА із перерізом.
Тоді маємо О1А = r, ОА = R, РО = h, \begin{equation} PO_{1}=\frac{h}{2} \end{equation} ΔРОА волна ΔРО1А1 (за двома кутами), тому: \begin{equation} \frac{OA}{O_{1}A_{1}}=\frac{PO}{PO_{1}}, \end{equation} \begin{equation} \frac{R}{r}=\frac{h}{\frac{h}{2}}, \end{equation} звідси \begin{equation} r=\frac{R}{2}. \end{equation} Знайдемо об'єм V конуса з центром основи в т.О \begin{equation} V=\frac{1}{3}\Pi R^{2}h. \end{equation} Тоді об'єм конуса з центром в т.О1: \begin{equation} V_{1}=\frac{1}{3}\Pi R^{2}\frac{h}{2}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{3}\Pi (\frac{R}{2})^{2}\cdot \frac{h}{2}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{3}\Pi R^{2}h=\frac{1}{8}V. \end{equation} Знайдемо об'єм нижньої частини конуса. V2 = V - V1 = \begin{equation} =V-\frac{1}{8}V=\frac{7}{8}V. \end{equation} Знайдемо відношення об'ємів частин конуса, що утворилися при перетині площиною: \begin{equation} \frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\frac{1}{8}V}{\frac{7}{8}V}=\frac{1}{7} \end{equation} V1 : V2 = 1 : 7.
Відповідь: 1 : 7