вправа 11.23 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

Вправа 11.23


Умова: 

Рівносторонній трикутник обертається навколо своєї сторони а. Знайдіть об'єм тіла обертання.

Розв'язання:


Нехай ΔАВС - рівносторонній,
АВ = АС = ВС = а.
В результаті обертання ΔАВС навколо АС отримаємо тіло, яке складається з двох однакових конусів, які мають спільну основу з центром в точці О і радіусом ОВ.
Із ΔАВС:
ОВ - висота і медіана,
тому ОВ = АВsin∠ВАО = аsin60° = \begin{equation} =\frac{a\sqrt{3}}{2} \end{equation} \begin{equation} AO=\frac{1}{2}AC=\frac{a}{2} \end{equation} Об'єм конуса з вершиною в т.А і твірною АВ знайдемо як: \begin{equation} V_{к.}=\frac{1}{3}\cdot (OB)^{2}\cdot AO= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{3}\Pi \cdot (\frac{a\sqrt{3}}{2})^{2}\cdot \end{equation} \begin{equation} \cdot \frac{a}{2}=\frac{\Pi a^{3}}{8}. \end{equation} Тоді об'єм всього тіла обертання: \begin{equation} V=2V_{к.}= \end{equation} \begin{equation} =2\cdot \frac{\Pi a^{3}}{8}=\frac{\Pi a^{3}}{4}. \end{equation} \begin{equation} Відповідь: \frac{\Pi a^{3}}{4} \end{equation}