вправа 11.3 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

Вправа 11.3


Умова: 

Основа похилої призми – правильний трикутник зі стороною 2 м. Одне з бічних ребер дорівнює 4 м і утворює з кожною із прилеглих сторін основи кут 45°. Знайдіть об'єм призми.

Розв'язання:


Нехай АВСА₁В₁С₁ - похила призма,
ΔАВС - правильний,
АВ = 2 м, АА₁ = 4 м.
Проведемо висоту піраміди А₁О,
т.О бісектрисі АD,
(так як ∠А₁АВ = ∠А₁АС = 45°).
Проведемо ОМ ┴ АВ, тоді за теоремою про три перпендикуляри,
АВ ┴ АМ,
отже ∠АМА₁ = 90°.
Із ΔАМА₁ (∠АМА₁ = 90°)
АМ = АА₁ • cos∠А₁АВ =
= 4 • cos45° = 2√2 (м)
ΔАМА₁ - рівнобедрений,
тому А₁М = АМ = 2√2 (м)
Із ΔАОМ (∠АМО = 90°)
ОМ = АМtg∠ВАD.
∠ВАD = 30°, так як АD - бісектриса,
тоді ОМ = 2√2tg30° = \begin{equation} =2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{6}}{3}(м) \end{equation} Із ΔАА₁ (∠АОА₁ = 90°) \begin{equation} A_{1}O=\sqrt{A_{1}M^{2}-OM^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}-(\frac{2\sqrt{6}}{3})^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{\frac{4}{\sqrt{3}}}(м) \end{equation} Знайдемо S_осн. = S_ΔАВС.
Так як ΔАВС - правильний, то \begin{equation} S_{\Delta ABC}=\frac{AB^{2}\sqrt{3}}{4}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{2^{2}\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3} \end{equation} Тоді об'єм призми:
V = S_осн. • А₁О = \begin{equation} =\sqrt{3}\cdot \frac{4}{\sqrt{3}}=4(м^{3}). \end{equation} Відповідь: 4 м³