вправа 11.4 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

Вправа 11.4


Умова: 

В основах похилої призми – квадрати. Чи правильно, що будь-яка площина, що проходить через центри квадратів, ділить призму на дві рівновеликі частини?

Розв'язання:



Нехай задано похилу призму АВСDА₁В₁С₁D₁.
АВСD і А₁В₁С₁D₁ - квадрати,
т.О, О₁ - центри цих квадратів відповідно.
Проведемо площину МКК₁М₁ так,
кут ОО₁ ⊂ МКК₁М₁.
Площина МКК₁М ∩ АВСD = КМ
МКК₁М₁ ∩ А1В₁С₁D₁ = К₁М₁
Розглянемо квадрат АВСD.
Діагоналі АС і ВD та пряма КМ ділять АВСD на 6 трикутників, з яких
ΔАОК = ΔСОМ
(АО = ОС,
∠АОК = ∠СОМ - вертикальні,
∠ОАВ = ∠ОСМ - внутрішні різносторонні при паралельних прямих і січній).
Аналогічно можна довести, що
ΔВОК = ΔМОD (ВО = ОD, ∠ВОК = ∠МОD, ∠ОВК = ∠ОDМ)
ΔАОD = ΔВОС (ВО = ОD, АО = ОС, ∠АОD = ∠ВОС).
Так, як рівні трикутники мають рівні площі, то площа фігури КВСМ, яка складається з суми площ ΔВОК, ΔВОС, ΔСОМ) дорівнює площі фігури АКМD (яка складається з суми площ ΔАОК, ΔМОD, ΔАОD), тобто
S_АКМD = S_КВСМ.
Висоти частин призми, в основі яких лежать чотирикутники КВСМ і АКМD рівні між собою і дорівнюють висоті призми h.
Тоді об'єм V_КВСМ = S_КВСМ • h,
V_АКМD = S_АКМD • h,
так як S_АКМD = S_КВСМ,
то V_КВСМ = V_АКМD,
тобто площина МКК₁М₁ розділила призму на дві рівновеликі частини.
Відповідь: так