вправа 12.8 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

Вправа 12.8


Умова: 

Знайдіть об'єм кулі, описаної навколо правильного тетраедра з ребром а.

Розв'язання:


Нехай куля з центром в т.О₁ описана навколо тетраедра SABCD
(SАВС - правильний тетраедр)
SА = SВ = SС =
= АВ = АС = ВС = а.
Проведемо SО ┴ пл-ні АВС,
тоді SО - висота тетраедра,
т.О ∈ SО.
О₁А = О₁S = R - радіус кулі.
ОА - радіус кола, описаного навколо ΔАВС. \begin{equation} AO=\frac{a}{\sqrt{3}} \end{equation} Із ΔSОА (∠SОА = 90°) \begin{equation} sin\angle ASO=\frac{OA}{SA} \end{equation} \begin{equation} sin\angle ASO=\frac{\frac{a}{\sqrt{3}}}{a}=\frac{1}{\sqrt{3}} \end{equation} Тоді \begin{equation} cos\angle ASO= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{1-sin^{2}\angle ASO}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{1-(\frac{1}{\sqrt{3}})^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3} \end{equation} Так, як О₁А = О₁S = R, то ΔАО₁S - рівнобедрений.
За теоремою косинусів: \begin{equation} O_{1}A^{2}=SA^{2}+SO_{1}^{2}- \end{equation} \begin{equation} -2\cdot SA\cdot SO_{1}cos\angle ASO \end{equation} \begin{equation} R^{2}=a^{2}+R^{2}- \end{equation} \begin{equation} -2aR\cdot \frac{\sqrt{6}}{3} \end{equation} \begin{equation} R=2aR\frac{\sqrt{6}}{3}=a^{2} \end{equation} \begin{equation} R=\frac{3a}{2\sqrt{6}} \end{equation} Об'єм кулі: \begin{equation} V=\frac{4}{3}\Pi R^{3}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{4}{3}\Pi \cdot (\frac{3a}{2\sqrt{6}})= \end{equation} \begin{equation} =\frac{\Pi a^{3}\sqrt{6}}{8}. \end{equation} \begin{equation} Відповідь: \frac{\Pi a^{3}\sqrt{6}}{8} \end{equation}