вправа 2.10 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

11 клас ➠ математика ➠ Нелін Долгова

 

Вправа 2.10


Умова: 

 

Діагональ прямокутного паралелепіпеда утворює з його ребрами кути α, β, φ.
Доведіть, що cos2α + cos2β + cos2φ = 1.

 

Розв'язання:


АВСDА1В1С1D1 - прямокутний паралелепіпед.
А1С - діагональ паралелепіпеда,
∠ВАС1 = α,
∠АА1С1 = β,
∠DАС1 = φ.
Позначимо АС1 = α.
Так як АВ ┴ ВВ1С1С,
то ΔАВС1 - прямокутний
(∠АВС1 = 90°),
тоді АВ = АС1cosα = dcosα.
Так як АD ┴ СС1D1D,
то ΔАDDС1 - прямокутний
(∠АDС1 = 90°),
тоді АD = АС1cosφ = dcosφ.
Так як АА1 ┴ А1В1С1D1,
то АА1С1 - прямокутний
(∠АА1С1 = 90°),
тоді АА1 = АС1cosβ = dcosβ.
Як відомо,
d² = АВ² + АD² + АА₁²
d² = d²cos²α + d²cosφ + dcos2β
d² = d²(cos²α + cos²β + cos²φ).
Звідки, cos²α + cos²β + cos²φ = 1.