вправа 2.12 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019
Вправа 2.12
Умова:
Основою паралелепіпеда є ромб зі стороною b і гострим кутом а, а бічні грані – паралелограми з гострим кутом β. Бічне ребро паралелепіпеда дорівнює а. Знайдіть:
1) площу бічної поверхні паралелепіпеда;
2) площу меншого діагонального перерізу;
3) висоту паралелепіпеда.
1) площу бічної поверхні паралелепіпеда;
2) площу меншого діагонального перерізу;
3) висоту паралелепіпеда.
Розв'язання:
Нехай АВСDА1В1С1D1 - паралелепіпед,
АВСD - ромб,
бічні грані паралелограми,
∠ВСС1 = ∠DСС1 = β,
АА1 = ВВ1 = СС1 = DD1 = а,
∠ВАD = ∠ВСD = α,
АВ = ВС = СD = АD = b.
1) Sбіч. = 4SВВ1С1С
SВВ1С1С =
= ВС • СС1sin∠ВСС1 = аbsinβ
Sбіч. = 4absinβ - площа бічної поверхні паралелепіпеда.
2) Так як ∠С1СВ = ∠С1СD,
то проекція Е точки С1 на площину АВСD попаде на бісектрису ∠ВСD,
тобто АС (так як АВСD - ромб).
Отже СЕ ┴ ВD.
Тоді за теоремою про три перпендикуляра СС1 ┴ ВD.
Так як ВВ1║СС1
СС1 ┴ ВО
ВВ1D1D - паралелограм,
то ВВ1D1D - прямокутник.
Отже, менший діагональний переріз паралелепіпеда прямокутник, тоді його площа
SВВ1D1D = ВВ1 • ВD.
Так як АВСD - ромб,
то АС ┴ ВD,
тоді ΔАВО - прямокутний
(∠АОВ = 90°)
ВО = АВsin∠ВАО. \begin{equation} BO=bsin\frac{\alpha }{2}, \end{equation} тоді \begin{equation} BD=2BO=2bsin\frac{\alpha }{2} \end{equation} \begin{equation} S_{BB_{1}D_{1}D}=2absin\frac{\alpha }{2}. \end{equation} 3) Так як т.Е - проекція т.С1 на площину (АВС),
то С1Е - висота паралелепіпеда.
Проведемо С1К ┴ СD,
тоді за теоремою про три перпендикуляри
СD ┴ ЕК.
Із ΔС1КС (∠С1КС = 90°)
СК = С1Сcos∠СС1К = аcosβ
С1К = С1Сsin∠СС1К = аsinβ
Із ΔСЕК (∠СКЕ = 90°)
ЕК = СКtg∠ЕСК = \begin{equation} =acos\beta tg\frac{\alpha }{2} \end{equation} Із ΔС1ЕК (∠С1ЕК = 90°) \begin{equation} C_{1}E=\sqrt{C_{1}K^{2}-EK^{2}} \end{equation} \begin{equation} C_{1}E= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{a^{2}sin^{2}\beta -a^{2}cos^{2}\beta tg^{2}\frac{\alpha }{2}}= \end{equation} \begin{equation} =a\sqrt{sin^{2}\beta -cos^{2}\beta \cdot tg^{2}\frac{\alpha }{2}}. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} 1)4absin\beta ; \end{equation} \begin{equation} 2)absin\frac{\alpha }{2}; \end{equation} \begin{equation} 3)a\sqrt{sin^{2}\beta -cos^{2}\beta \cdot tg^{2}\frac{\alpha }{2}} \end{equation}