вправа 2.15 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

 

Вправа 2.15


Умова:
 
 
Сторони основи прямого паралелепіпеда дорівнюють 3 см і 5 см, одна з діагоналей основи 4 см. Менша діагональ паралелепіпеда утворює з площиною основи кут 60°. Знайдіть діагоналі паралелепіпеда.
 


Розв'язання:

вправа 2.15 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019
АВСDА1В1С1D1 - прямий паралелепіпед,
тоді АВСD - паралелограм,
В1D = 4 м - менша діагональ паралелепіпеда.
ВВ1 ┴ (АВС),
тоді ВD - проекція В1D на площину АВСD.
∠ВDВ1 = 60° - кут між діагоналлю
В1D і площиною основи.
Знайдемо другу діагональ основи
2(АВ2 + АD2) = d12 + d22
2(32 + 52) = 42 + d22
16 + d22 = 68
d22 = 52
d2 = 2√13
Отже, АС = 23 (см),
ВD = 4 (см)
Із ΔВВ1D (∠В1ВD = 90°) \begin{equation} B_{1}D=\frac{BD}{cos\angle BDB_{1}} \end{equation} \begin{equation} B_{1}D=\frac{4}{cos60^{\circ}}=8 (см) \end{equation} ВВ1 = ВDtgВDВ1
ВВ1 = 4tg60° = 43
Із ΔАСС1 (∠АСС1 = 90°) \begin{equation} AC_{1}=\sqrt{AC^{2}+CC_{1}^{2}} \end{equation} Так як ВВ1 = СС1 = 43, то \begin{equation} AC_{1}=\sqrt{52+48}= \end{equation} \begin{equation} =10 (см) \end{equation} Відповідь: 8 см; 10 см