вправа 2.16 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

11 клас ➠ математика ➠ Нелін Долгова
 

Вправа 2.16


Умова: 
 
Доведіть, що сума квадратів площ бічних граней прямого паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів площ його діагональних перерізів.
 


Розв'язання:

Нехай задано прямий паралелепіпед.
Позначимо а, b - ребра основи,
d1, d2 - діагоналі основи,
h - висота паралелепіпеда,
S1, S2 - площі діагональних перерізів паралелепіпеда,
Sбіч. - сума квадратів площ бічних граней.
Так як в основі паралелепіпеда паралелограм, то за властивістю діагоналей паралелограма:
d12 + d22 = 2(а2 + b2)
S12 = d12h2,
S22 = d22h2 - квадрати площ діагональних перерізів
Sбіч. = 2(h2а2 + h2b2) =
= 2h2(а2 + b2) -
сума квадратів площ бічних граней паралелепіпеда.
Враховуючи, що
d12 + d22 = 2(а2 + b2),
маємо
Sбіч. = 2h2(а2 + b2) =
= h2(d12 + d22) =
= S12 + S22.
Тобто, сума квадратів площ бічних граней дорівнює сумі квадратів площ діагональних перерізів паралелепіпеда.