вправа 2.17 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

11 клас ➠ математика ➠ Нелін Долгова

 

Вправа 2.17


Умова: 

 

Висота прямого паралелепіпеда дорівнює √3, діагоналі його утворюють з основою кути 45° і 60°, а основою є ромб. Знайдіть:
1) площу бічної поверхні паралелепіпеда;
2) площу повної поверхні паралелепіпеда.

 

Розв'язання:



АВСDА1В1С1D1 - прямий паралелепіпед,
АВСD - ромб, бічні ребра перпендикулярні площинам основ і висотам паралелепіпеда.
ВВ1 ┴ (АВС),
ВD - проекція В1D на (АВС),
тоді ∠ВDВ1 = 60°.
СС1 ┴ (АВС),
АС - проекція АС1 на (АВС),
тоді ∠САС1 = 45°.
Із ΔВВ1D (∠В1ВD = 90°) \begin{equation} BD=\frac{BB_{1}}{tg\angle BDB_{1}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{\sqrt{3}}{tg60^{\circ}}=1. \end{equation} Із ΔАСС1 (∠АСС1 = 90°)
АС = СС1 = √3
(так як ∠САС1 = 45°,
то ΔАСС1 - рівнобедрений).
АВСD - ромб, за властивістю діагоналей паралелепіпеда.
АС² + ВD² = 4а²,
де а - сторона ромба
4а² = 3 + 1
4а = 4,
звідки а = 1.
1) Sбіч. = Росн. • h =
= 4а • √3 = 4√3 (кв. од.) -
площа бічної поверхні.
2) Sпов. = Sбіч. + 2Sосн. \begin{equation} S_{осн.}=\frac{1}{2}AC\cdot BD= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{2}1\cdot \sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}(кв.од.) \end{equation} \begin{equation} S_{пов.}=4\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2= \end{equation} \begin{equation} =5\sqrt{3}(кв.од.). \end{equation} Відповідь:
1) 4√3 кв.од.; 2) 5√3 кв.од.