вправа 2.18 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

 

Вправа 2.18


Умова:
 
 
Сторони основи прямого паралелепіпеда дорівнюють 13 см і 14 см, менша його діагональ дорівнює 17 см, а площа основи 168 см2. Знайдіть площу бічної поверхні.
 


Розв'язання:

вправа 2.18 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019
АВСDА1В1С1D1 - прямий паралелепіпед,
АВСD - паралелограм,
АВ = 13 см,
АD = 14 см,
В1D = 17 см,
Sосн. = 168 см2.
Ребра (бічні) перпендикулярні основам паралелепіпеда і є його висотами.
Sосн. = а • b • sinφ
13 • 14sinφ = 168 \begin{equation} sin\varphi =\frac{12}{13} \end{equation} Із формули
sin2α + сos2α = 1,
маємо \begin{equation} cos\alpha =\sqrt{1-sin^{2}\alpha } \end{equation} \begin{equation} cos\varphi =\sqrt{1-(\frac{12}{13})^{2}} \end{equation} \begin{equation} cos\varphi =\frac{5}{13} \end{equation} За теоремою косинусів
d2 = а2 + b2 - 2аbcosφ
а, b - сторони трикутника
φ - кут між ними
d - діагональ паралелограма АВСD. \begin{equation} d^{2}=13^{8}+14^{2}- \end{equation} \begin{equation} -2\cdot 13\cdot 14\cdot \frac{5}{13} \end{equation} d2 = 169 + 196 - 28 • 5
d2 = 225
d = 15 (см)
Знайдемо другу діагональ паралелограма АВСD:
152 + d22 = (132 + 142) • 2
d22 = 505 \begin{equation} d_{2}=\sqrt{505}\approx 22,47 \end{equation} Порівнявши d = 5 (см) і \begin{equation} d_{2}=\sqrt{505} (см) \end{equation} побачимо, що менша діагональ 15 см.
Тобто ВD = 15 см
Із ΔВDВ1 (∠В1ВD = 90°) \begin{equation} BB_{1}=\sqrt{B_{1}D^{2}-BD^{2}} \end{equation} \begin{equation} BB_{1}=\sqrt{17^{2}-15^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{64}=8 (см) \end{equation} Sбіч. = Росн. • ВВ1 =
= 2(13 + 14) • 8 = 432 (см2).
Відповідь: 432 см2