вправа 2.19 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

11 клас ➠ математика ➠ Нелін Долгова

 

Вправа 2.19


Умова: 

 

Знайдіть діагоналі прямого паралелепіпеда, кожне ребро якого дорівнює а, а гострий кут в основі 60°.

 

Розв'язання:


АВСDА1В1С1D1 - прямий паралелепіпед,
всі ребра якого дорівнюють а,
∠ВАD = 60°.
Знайдемо В1D і АС1 - діагоналі паралелепіпеда,
АВСD - паралелограм.
За властивістю діагоналей паралелограма
d₁² + d₂² = 4а²,
де d₁ і d₂ - діагоналі паралелограма.
Із ΔАВD:
АВ = АD = а
∠ВАD = 60°,
отже ΔАВD - рівносторонній,
тоді d₁ = ВD = а
а² + d₂² = 4а²
d₂² = 3а²
d₂ = а√3
АС = d² = а√3.
Так як паралелепіпед прямий, то всі бічні ребра перпендикулярні основам.
Із ΔВВ1D (∠В1ВD = 90°) \begin{equation} B_{1}D=\sqrt{BD^{2}+BB_{1}^{2}} \end{equation} \begin{equation} B_{1}D=\sqrt{a^{2}+a^{2}}=a\sqrt{2} \end{equation} Із ΔАСС1 (∠АСС1 = 90°) \begin{equation} AC_{1}=\sqrt{AC^{2}+CC_{1}^{2}} \end{equation} \begin{equation} AC_{1}=\sqrt{3a^{2}+a^{2}}=2a. \end{equation} Відповідь: а√2; 2а