вправа 2.20 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

11 клас ➠ математика ➠ Нелін Долгова

 

Вправа 2.20


Умова: 

 

Сторони основи прямого паралелепіпеда дорівнюють 2 см і 5 см; відстань між меншими з них 4 см, а бічне ребро 2√2 см. Знайдіть діагоналі паралелепіпеда.

 

Розв'язання:


АВСDА1В1С1D1 - прямий паралелепіпед,
АВСD - паралелограм, бічні ребра паралелепіпеда перпендикулярні основам
АВ = DС = 2 см,
АD = ВС = 5 см,
АА1 = ВВ1 = СС1 =
= DD1 = 2√2 см.
Проведем ВК ┴ DС,
тоді ВК = 4 см - відстань між меншими сторонами основи.
Знайдем В1D і АС1.
Знайдемо площу ΔВСD: \begin{equation} S_{\Delta BCD}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{2}CD\cdot BK= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{2}\cdot 4 \cdot 2=\frac{8}{2}=4(см^{2}) \end{equation} З іншого боку: \begin{equation} S_{\Delta BCD}=\frac{1}{2}BC\cdot \end{equation} \begin{equation} \cdot CDsin\angle BCD, \end{equation} звідки \begin{equation} sin\angle BCD=\frac{2S}{BC\cdot CD} \end{equation} \begin{equation} sin\angle BCD=\frac{2\cdot 4\cdot 4}{5\cdot 2\cdot 5} \end{equation} Із основної тригонометричної тотожності: \begin{equation} cos\angle BCD= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{1-sin^{2}\angle BCD} \end{equation} \begin{equation} cos\angle BCD= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{1-(\frac{4}{5})^{2}}=\frac{3}{5} \end{equation} За теоремою косинусів:
ВD² = ВС² + СD² -
- 2 • ВС • СDcos∠ВСD \begin{equation} BD^{2}=5^{2}+2^{2}- \end{equation} \begin{equation} -2\cdot 5\cdot 2\cdot \frac{3}{5} \end{equation} ВD2 = 17 \begin{equation} BD=\sqrt{17} (см) \end{equation} За властивістю діагоналей паралелограма:
ВD² + АС² = 2(АВ² + ВС²)
17 + АС² = 2(4 + 25)
АС² = 41
Із ΔАСС1 (∠АСС1 = 90°) \begin{equation} AC_{1}=\sqrt{AC^{2}+CC_{1}^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{41+(2\sqrt{2})^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{41+8}=\sqrt{49}=\end{equation} \begin{equation} =7 (см) \end{equation} Із ΔВDВ1 (∠B1BD = 90°) \begin{equation} B_{1}D=\sqrt{BD^{2}+BB_{1}^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{17+(2\sqrt{2})^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{17+8}=\sqrt{25}= \end{equation} \begin{equation} =5 (см). \end{equation} Відповідь: 7 см; 5 см